Benutzer:Erzbischof/Bernstein–von Mises theorem
In der Bayesschen Statistik ist der Satz von Bernstein-von-Mises die Grundlage für das wichtige Ergebnis, dass die A-posteriori-Verteilung für die unbekannten Größen in einem Problem in gewissem Sinne von der A-priori-Verteilung unabhängig ist (vorausgesetzt die Regel von Cromwell wird beachtet), sobald die durch die Stichprobe gewonnene Informationsmenge groß genug ist.
Der Satz ist nach Richard von Mises und Sergei Bernstein benannt, obwohl der erste echte Beweis von Joseph Leo Doob im Jahr 1949 für Zufallsvariablen auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum geführt wurde. Später erweiterten Lucien Le Cam, sein Doktorand Lorraine Schwarz, David A. Freedman und Persi Diaconis den Beweis auf allgemeinere Voraussetzungen. Ein bemerkenswertes Ergebnis wurde 1965 von Freedman gefunden: Der Satz von Bernstein-von-Mises gilt nicht fast sicher, falls die Zufallvariable einen abzählbar unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum hat.
Der Statistiker A. W. F. Edwards merkte an: „Manchmal wird als Verteidigung des Bayesschen Konzepts gesagt, die Wahl der A-priori-Verteilung sei in der Praxis unwichtig, weil sie die A-posteriori-Verteilung so gut wie gar nicht beeinflusst, wenn es eine angemessene Anzahl an Daten gibt. Je weniger zu dieser ‚Verteidigung‘ gesagt wird, umso besser“.[1]
Aussage des Satzes
Verallgemeinerungen
Einzelnachweise
- ↑ A.W.F. Edwards: Likelihood. Johns Hopkins University Press, Baltimore 1992, ISBN 0-8018-4443-6.
http://books.google.de/books?id=9ByccYe5aI4C&pg=PA291#v=onepage&q&f=false
- Anirban, DasGuptas: Asymptotic Theory of Statistics and Probability. Springer, New York 2008, ISBN 978-0-387-75970-8, S. 291ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
- A.W. van der Vaart: 10.2 Bernstein–von Mises Theorem. In: Asymptotic Statistics. Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-78450-6.
- Doob, Joseph L. (1949): Applications of the theory of martingales. In: Colloq. Intern. du C.N.R.S (Paris), No. 13, S. 22–28.
- Freedman, David A. (1963): On the asymptotic behaviour of behaviour of Bayes estimates in the discrete case I. In: The Annals of Mathematical Statistics, vol. 34, S. 1386–1403.
- Freedman, David A. (1965): On the asymptotic behaviour of behaviour of Bayes estimates in the discrete case II. In: The Annals of Mathematical Statistics, vol. 36, S. 454–456.
- Le Cam, Lucien (1986): Asymptotic Methods in Statistical Decision Theory, Springer. ISBN 0-387-96307-3 (S. 336 und 618–621).
- Lorraine Schwartz (1965), On Bayes procedure. In: Z. Wahrscheinlichkeitstheorie, No. 4, S. 10–26.
