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Van-Tress-Ungleichung

Bei der Van-Trees-Ungleichung handelt es sich um eine zentrale Ungleichung aus der bayesschen Schätztheorie, einem Teilgebiet der mathematischen Statistik. Ähnlich wie die Cramér-Rao-Ungleichung aus der frequentistischen Statistik liefert sie eine Abschätzung der Varianz für Punktschätzer und damit eine Möglichkeit, unterschiedliche Schätzer miteinander zu vergleichen. Im Unterschied zur Cramér-Rao-Ungleichung verzichtet die Ungleichung auf die Voraussetzung der Erwartungstreue, ist aber dadurch für erwartungstreue Schätzer etwas schwächer. Für große Stichprobenumfänge unterscheidet sich allerdings die van-Trees-Schranke nur noch geringfügig von der Cramér-Rao-Schranke.

Die Ungleichung ist benannt nach Harry L. van Trees, der die Ungleichung 1968 erstmalig aufstellte.

Aussage

Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein $d$-parametriges bayessches statistisches Modell bestehend aus einem Rahmenmodell $({\mathcal {X}},{\mathcal {A}},{\mathcal {(}}P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta })$, einer Parameterdarstellung $(\Theta ,{\mathcal {B}}(\Theta ))$ mit $\Theta \subset \mathbb {R} ^{d}$ und einem Wahrscheinlichkeitsmaß $\mathbb {P}$, der a-priori-Verteilung über den Parameterraum $(\Theta ,\sigma (\Theta ))$. Darüber hinaus existiert die Likelihoodfunktion $f(x,\vartheta )$. Das heißt, jedes $(P_{\vartheta })$ besitzt eine Dichtefunktion $f(x,\vartheta )$ bezüglich einem dominierten Maß $\mu$. Das a-priori-Maß $\mathbb {P}$ besitzt auf $\Theta$ eine Dichte $g(\vartheta )$ bezüglich dem Lebesguemaß $\lambda$.

Es gelten zudem folgende Bedingungen, die zum Beweis der Aussage notwendig sind:

• $g$ ist stetig-differenzierbar und alle Ableitungen $D_{i}\log(g)$, $i\in \{1,\ldots ,d\}$ liegen im ${\mathcal {L}}^{2}(\Theta ,{\mathcal {B}}(\Theta ),\mathbb {P} )$
• $f$ ist stetig-differenzierbar im 1. Argument
• Alle Komponenten des Scorevektors

Anwendungen

Die Ungleichung kann verwendet werden, um zu zeigen, dass in ein- oder zweiparametrigen Modellen keine supereffizienten Schätzer existieren. Dabei ist unter einem supereffizientem Schätzer ein (nicht-erwartungstreuer) Schätzer gemeint, der die Cramér-Rao-Ungleichung unterschreitet.

Literatur

• Gill, Richard D.; Levit, Boris Y. Applications of the van Trees inequality: a Bayesian Cramér-Rao bound. Bernoulli 1 (1995), no. 1-2, 59--79.

Kategorie:Schätztheorie Kategorie:Zufallsvariable Kategorie:Ungleichung (Stochastik)

Durbin-Levinson-Algorithmus

Beim Durbin-Levinson-Algorithmus handelt es sich um einen Algorithmus aus dem Teilgebiet der Linearen Algebra, der vor allem in der Zeitreihenanalyse Verwendung findet. Mit dem Algorithmus ist es möglich, rekursiv die Lösung eines Linearen Gleichungssystem zu bestimmen, wobei die zugehörige Matrix eine sogenannte Toeplitz-Matrix ist.

Der Algorithmus

Setting

Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem in Matrixdarstellung:

$\mathbf {A} x=b.$

Dabei ist $A\in \mathbb {K} ^{n\times n}$ (wobei $\mathbb {K}$ entweder für $\mathbb {R}$ oder für $\mathbb {C}$ steht) eine Toeplitz-Matrix.

Literatur

Kategorie:Lineare Algebra Kategorie:Zeitreihenanalyse