Benutzer:Exp(Pi I)/Baustelle

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoVorlage:SSen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Exp(Pi I) auf.

Operationen mit Potenzreihen

Addition und skalare Multiplikation

Sind $f$ und $g$ zwei Potenzreihen

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}$

$g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}$

mit dem Konvergenzradius $r$ und ist $c$ eine reelle beziehungsweise komplexe Zahl, dann sind auch $f+g$ und $cf$ wieder Potenzreihen mit dem Konvergenzradius $r$ und es gilt

$f(x)+g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}+b_{n})(x-x_{0})^{n}$

$cf(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(ca_{n})(x-x_{0})^{n}.$

Multiplikation

Das Produkt zweier Potenzreihen mit dem Konvergenzradius $r$ ist ebenfalls eine Potenzreihe mit einem Konvergenzradius der mindestens $r$ ist. Es gilt

$f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-x_{0})^{n}\right)$

$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-x_{0})^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-x_{0})^{n}.$

Die Folge $m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}$ ist dabei die Faltung der beiden Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$.

Differentiation und Integration

Eine Potenzreihe ist im Inneren ihres Konvergenzkreises differenzierbar und die Ableitung ergibt sich durch gliedweise Differentiation.

$f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-x_{0}\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-x_{0}\right)^{n}$

Analog erhält man eine Stammfunktion durch gliedweise Integration einer Potenzreihe.

$\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}{n+1}}+C=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-x_{0}\right)^{n}}{n}}+C$

In beiden Fällen entspricht der Konvergenzradius dem der ursprünglichen Reihe.

Mehrdimensionale Potenzreihen

In der mehrdimensionalen Analysis schreibt man Potenzreihen am einfachsten mit Hilfe der Multiindex-Notation als

$f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }\left(x-x_{0}\right)^{\alpha }.$

Der Konvergenzbereich einer solchen Potenzreihe hat eine wesentlich komplziertere Struktur. Die Aussagen über Operationen mit Potenzreihen gelten aber analog.

Literatur

• Konrad Königsberger: Analysis, Bd. 1, Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4.

komplexe Zahlen

$\mathbb {C}$

Notizen

• Multiindex
• Taylorreihe in Multiindex-Notation