Benutzer:Felix92/Gromov-Wasserstein-Metrik

In der Mathematik bezeichnet die Gromov-Wasserstein-Metrik, benannt nach den Mathematikern Michail Leonidowitsch Gromow und Leonid Vaseršteĭn, eine Metrik auf der Klasse der Isometrieklassen von metrischen Maßräumen. Die Gromov-Wasserstein-Metrik ist umso geringer, je besser sich die gegebenen Räume miteinander in Deckung bringen lassen.

Definition

Seien $(X,d_{X},\mu )$ und $(Y,d_{Y},\nu )$ zwei metrische Maßräume. Dann ist die Gromov-Wasserstein-Metrik der Ordnung $1\leq p<\infty$ definiert durch:

$d_{GW,p}(X,Y):={\frac {1}{2}}\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\left(\int _{X\times Y}\int _{X\times Y}|d_{X}(x,x')-d_{Y}(y,y')|^{p}\gamma (dx\times dy)\gamma (dx'\times dy')\right)^{\frac {1}{p}},$

wobei $\Gamma (\mu ,\nu )$ die Menge aller Kopplungen zwischen $\mu$ und $\nu$ ist, das heißt für alle messbaren Mengen $A\subseteq X$ und $B\subseteq Y$ gilt:

$\gamma (A\times Y)=\mu (A){\text{ und }}\gamma (X\times B)=\nu (B).$

Für $p=\infty$ ist die Gromov-Wasserstein-Metrik definiert als:

$d_{GW,p}(X,Y):={\frac {1}{2}}\inf _{\gamma \in \Gamma (\mu ,\nu )}\sup _{(x,y),(x',y')\in \mathrm {supp} (\gamma )}d_{X}(x,x')-d_{Y}(y,y')$,

wobei $\mathrm {supp} (\gamma )$ der Träger des Maßes ist.

Beispiele

Metrischer Maßraum mit einem Punkt

$(\{z\},(0),\delta _{z})$ ist ein metrischer Maßraum mit genau einem Punkt. Sei $(X,d_{X},\mu _{X})$ ein beliebiger metrischer Maßraum. Dann gilt:

$d_{GW,p}(X,\{z\})={\frac {1}{2}}\left(\int _{X}\int _{X}(d_{X}(x,x')\mu _{X}(dx)\mu _{X}(dx')\right)^{\frac {1}{p}}$