Benutzer:Felix Rewer/Mathematik und Experimente der SRT

Experiment 1: Lorentzfaktor

Aufbau

Ein Laser ${\vec {x}}_{Laser}$ schießt ein Photon ${\vec {x}}_{Photon}$ mit der Geschwindigkeit $c=299.792.458{\frac {m}{s}}$ durch den Raum des Inertialsystems $S$ während er sich mit der unbestimmten Geschwindigkeit $v$ und der Beschleunigung $a=0{\frac {m}{s}}^{2}$ durch das Inertialsystem $S'$. Der Beobachter ${\vec {x}}_{Beobachter}$ befindet sich im ruhenden Inertialsystem $S_{0}$ ($v=0,a=0$).

Beobachtung

Das Photon ${\vec {x}}_{Photon}$ legt die Strecke $ct$ und der Laser ${\vec {x}}_{Laser}$ die Strecke $vt'$ zurück. Die beiden Strecken $ct$ und $vt'$ sind Orthogonal ($ct\perp vt'$). Der Beobachter ${\vec {x}}_{Beobachter}$ sieht dabei das Photon ${\vec {x}}_{Photon}$ sich auf der Strecke $ct'$ bewegt (und das $ct'>ct$). Dadurch erkennen wir, dass das Inertialsystem $S$ eine Zeitdilatation zum Inertialsytem $S'$ aufweist ($t\neq t'$) bzw. dass $t$ proportional zu $t'$ ist ($t\sim t'$), deshalb muss es eine Proportionalitätskonstante bzw. einen Proportionalitätsfaktor $\gamma$ (Lorentzfaktor) geben.

Lösung

Durch die Beobachtung entnehmen wir, dass

$t'=t\gamma$

und

$(ct)^{2}=(ct')^{2}-(vt')^{2}$.

Nun können wir ausklammern

$c^{2}t^{2}=c^{2}t'^{2}-v^{2}t'^{2}$

und mithilfe des Distributivgesetz vereinfachen

$c^{2}t^{2}=t'^{2}(c^{2}-v^{2}).$

Dies können wir nun mit $c^{2}t'^{2}$ dividieren und direkt vereinfachen

${\frac {t^{2}}{t'^{2}}}=1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}$,

hieraus können wir dann die Quadratwurzel ziehen

${\frac {t}{t'}}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$.

Wenden wir das von oben an kommt heraus

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

Da $a=0{\frac {m}{s^{2}}}$ und $v=const.$ sehen wir

$l'=l{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$ (Längenkonvektion)

und

$t'={\frac {t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$ (Zeitdilatation).

Experiment 2: $E=mc^{2}$

Aufbau

Wie schon im erseten Versuch schießt ein Laser ${\vec {x}}_{Laser}$ ein Photon ${\vec {x}}_{Photon}$ mit der Geschwindigkeit $c=299.792.458{\frac {m}{s}}$ durch den Raum des Inertialsystems $S$, während sich der Beobachter ${\vec {x}}_{Beobachter1}$ mit der kenetischen Energie $E_{kin,Beobachter1}$bewegt und der Beobachter ${\vec {x}}_{Beobachter2}$ vorerst ruht (d.h. $E_{kin,Beobachter2}=0$).

Beobachtung

Beobachter ${\vec {x}}_{Beobachter1}$ sieht das Photon ${\vec {x}}_{Photon}$