Benutzer:Gerhardvalentin/m/z
Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma (nach dem Moderator der amerikanischen Spielshow Let's make a deal, Monty Hall) ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.
Problem
Bei einer Spielshow kann der Kandidat ein Auto gewinnen. Dem Spiel liegen die folgenden Regeln zugrunde:
- Hinter drei verschlossenen Toren befinden sich in Zufallsverteilung ein Auto als Gewinn und zwei Ziegen, diese symbolisieren die beiden Nieten-Tore.
- Nur der Moderator des Spieles kennt die Positionen der drei Objekte, für den Kandidaten sind diese nicht sichtbar und unbekannt.
- Der Kandidat wird eingeladen, sein Glück zu versuchen und eines der drei Tore auswählen. Das gewählte Tor bleibt vorerst noch verschlossen.
- Danach öffnet der Moderator eines der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore und zeigt dem Kandidaten eine dahinter befindliche Ziege.
- Nun lädt der Moderator den Kandidaten dazu ein, seine Entscheidung nochmals zu überdenken, und er bietet dem Kandidaten die Möglichkeit an, auf das zweite, ebenfalls noch verschlossene Tor des nicht gewählten Torepaares zu wechseln.
- Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird sodann geöffnet, und der Kandidat erhält das Auto, falls es sich hinter jenem Tor befindet.
Diese Regeln sind dem Kandidaten bekannt, und der Moderator gibt – auch durch sein Verhalten – keine weiteren Hinweise. Wie soll der Kandidat sich im vorletzten Schritt entscheiden, um seine Gewinnchance zu maximieren? Soll er das Tor wechseln oder nicht?
Lösung
Der Kandidat sollte das Tor wechseln. Durch ein Wechseln verdoppelt er seine Gewinnchance auf 2/3 (gegenüber nur 1/3, wenn er nicht wechselt).
Der berühmte fatale 50:50-Trugschluss
Meist werden die Chancen der beiden nach dem Öffnen eines Ziegentores zuletzt noch verschlossenen Tore irrtümlich als 1:1 eingeschätzt. Das trifft jedoch nicht zu. Selbst manche Mathematiker erliegen dabei einer Fehleinschätzung und vertreten in der zu diesem Thema reichlich erschienenen Fachliteratur dezidiert die Ansicht, eine endgültige Lösung könne ausschließlich mittels "bedingter Wahrscheinlichkeiten" im Zuge mathematischer Wahrscheinlichkeitsrechnung erreicht werden. Doch ist es unter Berücksichtigung der Bestimmungen der Spielregel auch ohne höhere mathematische Wahrscheinlichkeitsrechnung recht einfach, sich endgültige Klarheit zu verschaffen, wenn wie betont die Bestimmungen der Spielregel im zeitlichen Spielverlauf konsequent beachtet werden.
Erklärung der Lösung
Bestimmungen der Spielregel im zeitlichen Spielverlauf:
Vor der Torwahl des Kandidaten Alle drei Tore sind noch "gleich"
Jedes der drei Tore besitzt ursprünglich eine Gewinnchance von nur 1/3, aber ein Nietenrisiko von 2/3, denn es gibt nur ein Auto, aber zwei Ziegen. Für das vom Kandidaten ursprünglich gewählte Tor gelten diese Wahrscheinlichkeiten sogar bis nach seinem Letztentscheid, denn es gibt auch später, nach dem Öffnen eines Ziegentores, darüber erwiesenermaßen keinerlei weitere Informationen.
Torwahl Damit ist gleichzeitig auch ein "nicht gewähltes Torepaar" entstanden
Sobald jedoch der Kandidat seine erste Wahl getroffen hat, ist damit gleichzeitig ein "nicht gewähltes Torepaar" entstanden, das zwar eine gesamte gemeinsame Gewinnchance von 2/3, aber auch ein gesamtes gemeinsames Nieten-Risiko von 4/3 (1 1/3) besitzt. Und auch für dessen gemeinsamen Chancen und Risken kommen später durch das Öffnen eines Ziegentores keine weiteren Informationen hinzu. Auch jene gesamten gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten bleiben bis nach dem Letztentscheid des Kandidaten unverändert, denn auch darüber gibt es erwiesenermaßen keine weiteren Informationen.
Spielregel garantiert (nur) ein imperatives Ziegentor
Doch gleichzeitig kommt seit der Torwahl für jenes Torepaar die Information der Spielregel zum Tragen, dass es ja nur ein einziges Auto gibt. Die Spielregel besagt also, dass sich hinter jedem Torepaar (immer zwei Tore), also auch hinter jenem nicht gewählten Torepaar möglicherweise zwar zwei Ziegen, niemals jedoch zwei Autos befinden können, sondern bestenfalls nur ein Auto und damit auch eine Ziege. Durch die geltende Spielregel ist also gegeben, dass sich hinter zumindest einem der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares in jedem Fall mit Sicherheit eine Ziege befinden muss, denn es gibt keine zwei Autos. Welches der beiden nicht gewählten Tore ein imperatives Ziegentor ist, spielt keinerlei Rolle. Bei der Torwahl des Kandidaten stellt sich diese Frage nicht, und später, noch bevor sich die Frage nach "welches Tor" überhaupt stellen könnte, ist sie ja (vorgängig) durch den Moderator bereits beantwortet worden: Er öffnet ein Ziegentor. Da die Spielregel ja nur ein imperatives Ziegentor garantiert, kann das noch ungeöffnete "Partnertor" nie ein zusätzliches, durch die Spielregel imperativ garantiertes Ziegentor mehr sein.
Wenn sich aber gemäß Spielregel in jedem Fall hinter dem nicht gewählten Torepaar bekanntermaßen ohnehin zumindest eine garantierte Ziege befinden muss, egal hinter welchem jener beiden Tore, dann brachte das Öffnen eines Ziegentores dort keinerlei zusätzliche Information hinsichtlich der Gewinnchance jenes gesamten Torepaares, aber auch nicht hinsichtlich des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores. All diese Wahrscheinlichkeiten werden dadurch in keiner Weise beeinflusst, das dort erfolgte Öffnen eines Ziegentores ist in dieser Hinsicht keinerlei neues "Ereignis".
Die Wahrscheinlichkeiten des ursprünglich gewählten Tores und die des nicht gewählten Torepaares insgesamt blieben durch das Öffnen des Ziegentores somit nachweislich unverändert, auch wenn das nicht auf den ersten Blick erkannt wird. Doch hat sich innerhalb des nicht gewählten Torepaares das Chancen-Verhältnis jener beiden Tore untereinander dramatisch verändert. Ursprünglich hatte jedes von beiden eine Gewinnchance von 1/3 und ein Verlustrisiko von 2/3, obwohl bereits bekannt war, dass eines von beiden ein Nietentor mit einer Gewinnchance von Null und einem Ziegenrisiko von 1 sein muss. Es war nur noch nicht bekannt, welches von beiden jenes garantierte Ziegentor ist. Nun ist durch das Öffnen eines Ziegentores bekannt geworden, welches von beiden ein Ziegentor ist. Da es dort nur ein einziges garantiertes Ziegentor gab, kann dessen "Partnertor" keinesfalls mehr ein "garantiertes" Ziegentor sein.
Analyse der Folgen eines Wechsels (alle Konstellationen)
Annahme: Symmetrische Zufalls-Verteilung der Objekte und zufällige Tor-Wahl des Kandidaten. Der Moderator gibt keine zusätzlichen regelwidrigen Informationen preis.
Es gibt nur ein einziges Auto. Aus diesem Grund enthält das nicht gewählte Torepaar somit vorherbestimmt zwangsläufig immer zumindest eine Ziege
Der Moderator öffnet ein in jenem nicht gewählten Torepaar somit zwangsläufig vorhandenes Ziegentor. Dieses sichere Ereignis tritt immer ein.
| Auto hinter Tor |
Kandidat wählt Tor |
Das nicht gewählte Torepaar enthält immer ( ! ) zumindest 1 Ziege aber in 2/3 der Fälle auch das Auto |
Verlust bei Wechsel nur in 3 von 9 Fällen: Nur dann, wenn zufälligerweise ursprünglich aus drei Toren das einzige Tor mit dem Auto gewählt war, also nur in einem Drittel aller Fälle |
Gewinn bei Wechsel in 6 von 9 Fällen: Immer dann, wenn eines der beiden Ziegentore gewählt war |
Moderator öffnet Ziegentor |
Folge eines Wechsels: |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | Ziege ⇔ Ziege | Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 2 oder Ziegentor 3 öffnet | 2 oder 3 | Auto-Tor 1 war gewählt, Wechsel schadet | |
| 1 | 2 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 3 | Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt | |
| 1 | 3 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 2 | Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 1 nützt | |
| 2 | 1 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 3 | Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt | |
| 2 | 2 | Ziege ⇔ Ziege | Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 3 öffnet | 1 oder 3 | Auto-Tor 2 war gewählt, Wechsel schadet | |
| 2 | 3 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 1 | Ziegentor 3 war gewählt, Wechsel auf Tor 2 nützt | |
| 3 | 1 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 2 | Ziegentor 1 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt | |
| 3 | 2 | Ziege ⇔ Auto | Gewinn | 1 | Ziegentor 2 war gewählt, Wechsel auf Tor 3 nützt | |
| 3 | 3 | Ziege ⇔ Ziege | Verlust, egal ob der Moderator Ziegentor 1 oder Ziegentor 2 öffnet | 1 oder 2 | Auto-Tor 3 war gewählt, Wechsel schadet | |
| Gewinn- Chance |
Diese Chancen-Verteilung 1/3 : 0 : 2/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles |
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| Verlust- Risiko |
Diese Risiko-Verteilung 2/3 : 1 : 1/3 gilt gemäß Spielregel von Beginn an und unveränderlich bis zum Schluss des Spieles |
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In jenem 1/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat zufällig auf Anhieb dasjenige der drei Tore mit dem einzigen Auto gewählt hat, würde er durch einen Wechsel verlieren.
Das sind nur 3 von 9 Möglichkeiten, also in nur 1/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Verlust des schon gewählten Autos und schadet.
In den restlichen 2/3 aller Möglichkeiten, in denen der Kandidat jedoch eines der beiden Ziegentore gewählt hat, gewinnt er das Auto durch einen Wechsel.
Das sind 6 von 9 Möglichkeiten, also in 2/3 der Fälle führt ein Wechseln zum Gewinn des Autos.
- Ohne zu wechseln: Der Kandidat gewinnt nur dann, wenn seine erste Wahl auf das eine Tor mit dem Auto gefallen war (Wahrscheinlichkeit 1/3).
- Mit einem Wechsel: Der Kandidat gewinnt immer dann, wenn seine erste Wahl auf eine der beiden Nieten gefallen war (Wahrscheinlichkeit 2/3).
- Durch ein Wechseln verdoppelt der Kandidat seine Gewinnchance zweifelsfrei von 1/3 auf 2/3.
Das Paradoxon: Der fatale "50:50-Trugschluss" – Warum das Dilemma für die große Mehrzahl für immer ungelöst bleiben wird
Das "Besondere" am Ziegenproblem liegt darin, dass es sich, gemäß Spielregel vorherbestimmt, effektiv um drei Tore mit völlig unterschiedlicher Charakteristik handelt. Diese von vornherein unterschiedliche Charakteristik der drei Tore sollte jedoch tunlichst unerkannt bleiben, um die Marktchancen von sogenannter "Fachliteratur" nicht zu gefährden.
Die drei Tore besitzen gemäß Spielregel eine völlig unterschiedliche Charakteristik. Es handelt sich
- um das durch den Kandidaten "ursprünglich gewählte Tor" (egal welches) mit vom Anfang bis zum Ende des Spieles exakt durchschnittlicher Gewinnchance (1/3) und von Anfang bis zum Ende des Spieles durchschnittlichem Verlustrisiko (2/3),
- weiters um ein imperatives "garantiertes Nietentor" mit einer Gewinnchance von Null und einem Verlustrisiko von 1 (der Moderator wird jene Niete später dann ja zeigen),
- und damit um ein drittes, von vornherein "privilegiertes" Tor mit der hohen Gewinnchance von 2/3 und einem niedrigen Verlustrisiko von nur 1/3.
Diese laut geltender Spielregel vorherbestimmte, unterschiedliche Charakteristik der drei Tore wird nicht auf den ersten Blick erkannt, gilt jedoch in jedem Fall von Anfang an.
Jedes der drei Tore besitzt a priori eine Gewinnchance von 1/3 und ein Nieten-Risiko von 2/3. Für das durch den Kandidaten gewählte Tor gilt dies sogar bis zum Schluss des Spieles.
Das eigentliche "Paradoxon" liegt an der Struktur jener beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore, denn jenes nicht gewählte Torepaar muss, durch die Spielregel vorherbestimmt, zwingend immer zumindest eine Ziege enthalten (es gibt nur ein Auto), obwohl seine ebenso vorherbestimmte gemeinsame Gewinnchance in jedem Fall und bis zum Schluss des Spieles bei exakt 2/3 liegt. Dieser Sachverhalt ist durch die Spielregel gegeben und bedarf keines mathematischen Beweises.
Dies ist also das eigentliche Paradoxon: Die Gewinnchance jedes der beiden Tore des nicht gewählten Torepaares beträgt je 1/3, in Summe beträgt die Gewinnchance des Torepaares von Anbeginn total 2/3, trotz des dort garantierten "Nietentores" das selbst keinerlei Gewinnchance haben kann. Ohne jeden weiteren "mathematisch geführten Beweis" kann die Gewinnchance des nicht gewählten Torepaares von 2/3 deshalb niemals beide Tore in gleicher Weise betreffen, sondern letztlich immer nur ein einziges Tor, das von vornherein "privilegierte" Tor. Dieser durch die Spielregel gegebene Sachverhalt bedarf wie dargelegt keines weiteren mathematischen Beweises.
Zur Verdeutlichung:
Die Ausgangslage gemäß Spielregel lautet: Es gibt nur ein einziges Auto, und bei dem nicht gewählten Torepaar geht es um eine Gruppe von zwei Toren, egal um welche auch immer.
Die gemeinsame "Gewinnchance" jenes nicht gewählten Torepaares wird laut Spielregel in jedem Fall 2/3 betragen und dessen gemeinsames "Ziegen-Risiko" 4/3 (1 1/3).
Eines jener beiden Tore enthält jedoch imperativ, gemäß Spielregel vorherbestimmt, mit absoluter Sicherheit (1/1 oder 3/3) eine Ziege und hat somit gemäß Spielregel von Anfang an eine Gewinnchance von genau Null, es ist damit von vornherein das imperative "Nietentor" in jenem Torepaar. Dennoch beträgt die gemeinsame Gewinnchance jenes Torepaares 2/3. Da die gemeinsame Gewinnchance jener zwei Tore gemäß Spielregel 2/3 beträgt, ist bereits durch die Spielregel von Anfang an konkludent gegeben, dass folglich stets "das andere" jener beiden Tore von vornherein die vorherbestimmte Gewinnchance von 2/3 auf sich allein vereinigt: Es ist das "privilegierte" Tor. Seine "Gewinnchance" beträgt gemäß Spielregel vorherbestimmt 2/3 und sein "Ziegen-Risiko" nur 1/3.
Allerdings ist noch unbekannt, welches jener beiden Tore (des nicht gewählten Torepaares) die durch die Spielregel "vorherbestimmte Ziege" verbirgt (das "absolute Nietentor"), und welches das "andere", das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem halben Verlustrisiko von nur 1/3 ist. Das zu wissen wäre eminent wichtig.
Das anschließende (ebenso durch die Spielregel vorherbestimmte) Öffnen eines Ziegentores durch den Moderator bringt zwar keinerlei relevante zusätzliche Information hinsichtlich der Gewinnchance des vom Kandidaten ursprünglich gewählten Tores (1/3) noch hinsichtlich der gemeinsamen Gewinnchance der beiden nicht gewählten Tore (von zusammen 2/3), es stellt dafür eben kein Ereignis dar. Durch das Öffnen des Ziegentores wird jedoch gezeigt, dass die besagte, von Anfang an feststehende Gewinnchance von 2/3 also allein das zweite, jetzt noch immer verschlossene, nicht gewählte Tor betrifft. Bei diesem noch verschlossen bleibenden Tor handelt es sich also um das von Anfang an "privilegierte Tor" mit der − gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor − doppelten Gewinnchance von 2/3 und dem – gegenüber dem ursprünglich gewählten Tor – nur halbem Verlustrisiko von 1/3.
Der Moderator hilft:
Zumindest eines der beiden vom Kandidaten nicht gewählten Tore ist ein "absolutes Nietentor", es enthält imperativ eine Ziege, das andere nicht gewählte Tor ist das durch die Spielregel von Anfang an "privilegierte Tor" mit einer vorherbestimmten Gewinnchance von 2/3. Der Moderator zeigt nun, welches der beiden nicht gewählten Tore eine Ziege enthält und offenbart damit jenes (noch verschlossen bleibende) "privilegierte Tor" mit der "a priori Gewinnchance" von 2/3.
Die Gewinnchance jenes Tores, das der Kandidat ursprünglich aus drei Toren ausgewählt hat, bleibt bis zum Schluss unverändert 1/3 (und dessen Ziegen-Risiko 2/3).
Die Gewinnchance des anderen, noch verschlossenen Tores (des durch den Moderator offenbarten "privilegierten Tores") betrug von Anfang an 2/3 (und dessen Nieten-Risiko nur 1/3).
Da nicht bekannt ist, hinter welchem der beiden nun letztlich noch verschlossenen Tore (dem vom Kandidaten ursprünglich gewählten "durchschnittlichen Tor" mit einer Gewinnchance von 1/3 oder dem nicht gewählten, verschlossen gebliebenen "privilegierten Tor" mit einer Gewinnchance von 2/3) sich der Gewinn verbirgt (zwei geschlossene Tore, hinter einem der beiden muss sich zwangsläufig das Auto befinden, hinter dem anderen Tor die zweite Ziege), wird irrtümlicherweise landläufig angenommen, dass jedes der beiden noch geschlossenen Tore die gleiche Chance biete und es daher keine Rolle spiele, ob dem Angebot zu wechseln gefolgt werde oder nicht (der berühmte fatale 50:50 -Trugschluss).
Das eigentliche Paradoxon des "Ziegenproblems" ist rein intuitiv nicht leicht aufzulösen. Der Grund dafür besteht darin, dass sämtliche hier relevanten, bereits durch die Spielregel vorherbestimmten zwingenden Konklusionen und die vorherbestimmte, von Anfang an durch die Spielregel festgelegte, unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore nicht ohne weiteres und auf den allerersten Blick erkennbar sind, obwohl dies – didaktisch aufbereitet – zum "Aha-Erlebnis" führen könnte. Dass dies nicht geschieht ist Gold wert. Die einschlägige Fachliteratur zu diesem Thema zeigt anschaulich: Unter striktem Ignorieren der durch die Prämissen der Spielregel bereits klar vorherbestimmten Konklusionen lassen sich publikumswirksam ganze Bibliotheken füllen, mit eindrucksvollen, aber in diesem Fall unnötigen mathematischen Wahrscheinlichkeits-Berechnungen und völlig überflüssigen, angeblich "wissenschaftlich unbedingt notwendigen mathematischen Beweisen", ohne das permanente "Ja, warum denn nur" des Paradoxons enthüllen zu wollen. Das Kennzeichnende für das ungelöste "Warum denn nur?" sind manche "Mathematiker", die selbst die bereits durch die Spielregel vorherbestimmten Konklusionen nicht sehen (können?) und die durch die Spielregel bereits klar festgelegte, völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Struktur der drei Tore nicht erkennen (wollen?). Die am Markt befindlichen und laufend neu angebotenen Publikationen bedienen sich bedingter Wahrscheinlichkeiten und kommen mit unnötigen mathematischen "Beweisen" auf Umwegen zwar schließlich dennoch zum selben Ergebnis, lassen aber die ungewisse Frage nach dem "Warum denn nur" weiterhin bewusst offen.
Und: die in manchen Publikationen angestellt gewesenen Überlegungen, der Moderator könnte allenfalls durch ein bestimmtes regelwidriges Verhalten auf die eine oder andere unsaubere Weise vielleicht doch zusätzliche Informationen preisgeben, was dann neue Rätsel aufgibt, ignorieren die vorgegebene Spielregel. Solche Verwirrspiele lenken vom eigentlichen Paradoxon des "Ziegenproblems" ab und sind zum Verständnis des scheinbaren Paradoxon wenig hilfreich, auch wenn sie aus "reputablen Quellen" zitiert werden. Der klare "Durchblick" des Publikums kann so verhindert werden, was für einschlägige "Fachliteratur" weitere Verkaufserfolge verspricht. Voraussetzung dafür: Die durch die Spielregel vorherbestimmte unterschiedliche Chancen-Charakteristik der drei Tore: ( : : ) beziehungsweise deren Risiko-Verteilung ( : : ) bleiben weiterhin tabu.
Des Kaisers neue Kleider
Das "Ziegen-Problem" veranschaulicht – ähnlich wie "Des Kaisers neue Kleider" – ein Phänomen: Gewieften interessierten Kreisen gelang und gelingt es, selbst über lange Zeiträume hinweg, sich unverzichtbar zu machen. Ein relativ schlichter Sachverhalt kann erfolgreich zum angeblich unbeweisbaren und unlösbaren magischen Problem stilisiert werden, das ohne aufwändige wissenschaftliche Bemühung und kostspielige (für den Autor lukrative) Beratung für immer unlösbar bliebe. Der klare Blick auf die Bestimmungen der Spielregel und deren schlüssige Folgerungen sei "von vornherein ein falscher Lösungsweg". Und denen es wie hier gelingt, unwidersprochen zu dekretieren, ohne "Beweise", die nur durch mathematische Wahrscheinlichkeitsberechnungen, unter Zuhilfenahme "bedingter Wahrscheinlichkeiten" erbracht werden könnten, bliebe der schlichte Sachverhalt undurchschaubar und letztlich für immer unlösbar. Ein solcher "Beweis" sei schlicht unabdingbar und "der einzig zulässige Lösungsweg". Die gläubige Mehrheit nahm und nimmt das für bare Münze an (die Verkaufserfolge sprechen für sich), und die nächste derartige "wissenschaftliche Veröffentlichung" zum Thema wartet bereits im Schaufenster?
Es gilt in erster Linie, die Anschaulichkeit der schlichten Problemstellung und damit das "Aha-Erlebnis" zu fördern, und nicht die angebliche Unerlässlichkeit mathematischer "Beweise" zu dekretieren und damit zu verwirren. Die (an sich völlig unnötigen) Bemühungen, den Sachverhalt auch in mathematischen Formeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung darzustellen sind anzuerkennen. Da sie aber immer als "zur Problemlösung unverzichtbar" dargestellt wurden, gehören sie als "historisches Phänomen" vom eigentlichen Ziegenproblem gelöst und unter dem Titel "skurille Kuriositäten" in ein vom Paradoxon deutlich getrenntes Kapitel. -- Gerhardvalentin 15:02, 24. Dez. 2009 (CET)
- Was hast du vor mit dieser Doctorarbeit? Nijdam 20:44, 24. Jun. 2009 (CEST)
- Lieber Nijdam, die durch die Spielregel festgelegte völlig unterschiedliche Chancen-Risken-Charakteristik der drei Tore benötigst du offensichtlich nicht für deine Berechnungen. Rechne du also einfach weiter. . . Und schreibe weiter an mathematischer Fachliteratur. Liebe Grüße --Gerhardvalentin 19:23, 20. Dez. 2009 (CET)
