Benutzer:Glockenklang1/D’Alembertsches Prinzip

Das d’Alembertsche Prinzip (nach Jean Baptiste le Rond d’Alembert) der klassischen Mechanik erlaubt die Aufstellung der Bewegungsgleichungen eines mechanischen Systems mit Zwangsbedingungen. Das Prinzip basiert auf dem Verschwinden der virtuellen Arbeit von Zwangskräften und ist um Trägheitskräfte und damit um dynamische Effekte erweitert.

Für von Zwangsbedingungen erlaubte infinitesimale (virtuelle) Verrückungen $\delta {\vec {r}}_{i}$ kompensieren sich die Arbeitsterme sämtlicher Zwangskräfte entlang der Wirkstrecken.

In einem System seien die Massenpunkte indiziert durch ($i=(1,...N)$ , die äusseren Krafte ${\vec {F}}_{i}$, die Zwangskräfte ${\vec {Z}}_{i}$ und die Trägheitskräfte der Dynamik durch ${\vec {\dot {p}}}_{i}$ bezeichnet, so gelten zwei Gleichungen:

$\sum _{i=1}^{N}{\vec {Z}}_{i}\delta {\vec {r}}_{i}=0$ und

$\sum _{i=1}^{N}({\vec {F}}_{i}-{\vec {\dot {p}}}_{i})\delta {\vec {r}}_{i}=0$

Die erste der beiden Gleichungen stellt eine Bedingung dar unter der das d'Alembertsche Prinzip gilt. Die Gleichung besagt das das System aus Zwqngskräften den Energiesatz erfüllen muss, und wenn diese das tun, brauchen die Zwangskräfte auch nicht mehr explizit bekannt sein.

Denn die abgekoppelte zweite Gleichung enthält die Darstellung derselben Zwangskräfte durch die angewandten Kräfte und die Trägheitskräfte. Und wieder soll der Energiesatz summarisch gelten, und zwar nicht für die Arbeit der angewandten Kräfte sondern um eben dieselben wenn sie verringert seien um die Trägheitskraft.

Zusammen mit den Gleichungen der Zwangsbedingungen des Systems ist mit der zweiten Gleichung die Aufstellung der dynamischen Bewegungsgleichungen nur mit den äußeren Kräften und den Trägheitskräfte ohne explizite Kenntnis von Zwangskräften möglich .

Literatur

• Goldstein Klassische Mechanik,Kapitel I, Akademische Verlagsanstalt, 1978
• Friedhelm Kuypers Klassische Mechanik, VCH, 5. Auflage 1997, ISBN 3-527-29269-1

Anmerkungen

Colon-nisiert: Kategorie:Klassische Mechanik