Benutzer:Gunther/Grothendiecks Existenzsatz

Der Existenzsatz von Grothendieck (nach A. Grothendieck) ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie.

Es sei $A$ ein vollständiger noetherscher lokaler Ring, $Y=\operatorname {Spec} A$, $X$ ein separiertes $Y$-Schema endlichen Typs und ${\hat {X}}$ die Vervollständigung von $X$ entlang der Faser von $X\to Y$ über dem speziellen Punkt von $Y$. Dann ist der Funktor

${\mathcal {F}}\mapsto {\hat {\mathcal {F}}}$

eine Äquivalenz zwischen der Kategorie der kohärenten ${\mathcal {O}}_{X}$-Moduln, deren Träger eigentlich über $Y$ ist, und der Kategorie der kohärenten ${\mathcal {O}}_{\hat {X}}$-Moduln, deren Träger eigentlich über ${\hat {Y}}=\operatorname {Spf} A$ ist.

Ist insbesondere $X\to Y$ eigentlich, so definiert die Vervollständigung eine Äquivalenz zwischen den Kategorien der kohärenten Modulgarben auf $X$ und ${\hat {X}}$.

Literatur

• EGA III, 5.1