Benutzer:Gunther/Tensorprodukt

Zu einem Modul M über einem kommutativen Ring R mit Einselement (also insbesondere auch zu einem Vektorraum über einem Körper) kann man die so genannte Tensoralgebra

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm TM=\bigoplus_{n\geq 0}M^{\otimes n}=R\oplus M\oplus(M\otimes M)\oplus\ldots}

bilden. Mit der Multiplikation, die auf den homogenen Bestandteilen durch das Tensorprodukt gegeben ist, bildet sie eine graduierte, assoziative, jedoch nicht kommutative R-Algebra.

Verwandte Konstruktionen

=== Graßmann-Algebra

• Graßmann-Algebra oder äußere Algebra: Die äußere Algebra

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bigwedge M=\mathrm TM/\langle a\otimes a\rangle}

ist der Quotient der Tensoralgebra nach dem zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\otimes a}

für Elemente a von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\wedge b}

geschrieben, und es gilt

$a\wedge b=(-1)^{\deg a\deg b}\cdot b\wedge a$

für homogene Elemente a, b. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te äußere Potenzen

${\bigwedge }^{k}M$

von M.

• Die symmetrische Algebra

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm SM=\mathrm TM/\langle a\otimes b-b\otimes a\rangle}

ist der Quotient der Tensoralgebra nach den zweiseitigen Ideal, das von allen Elementen der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\otimes b-b\otimes a}

für Elemente a,b von M erzeugt wird. Die Multiplikation wird durch Nebeneinanderschreiben oder einen Punkt symbolisiert. SM ist eine kommutative R-Algebra. Die graduierten Bestandteile heißen auch k-te symmetrische Potenzen S^kM von M.

Beispiele

Ist M ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K, so ist TM isomorph zum Ring der nichtkommutativen Polynome in n Unbestimmten über K, die äußere Algebra über M ist eine 2ⁿ-dimensionale K-Algebra (die Dimension in Grad k ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\choose k} ), und die symmetrische Algebra SM ist isomorph zu einem gewöhnlichen Polynomring in n Unbestimmten über K.