Benutzer:HerrLemke/Alternativartikel Umtauschparadoxon

Dieser Artikel soll eine Alternative im eigentlichen Sinn zum Artikel das Umtauschparadoxon darstellen. Ich halte meine Version weder zwingend für besser, noch ist sie als Ersatz des bestehenden Artikels gedacht. Vielmehr stellt es den Versuch dar das Umtauschparadoxon aus Herrn Lemkes Sicht zu betrachten, dessen Rolle ich als Benutzer:Herr Lemke aus einer Laune heraus eingenommen habe. Nur dem besseren Leseverständnis schreibe ich hier von mir in der 3. Person:

Die Ausgangssituation

Herr Lemke möchte Herrn Schmidt beschenken und gibt ihm zwei Briefumschläge mit den Worten „Ich schenke Ihnen einen dieser Umschläge. In beiden befindet sich ein Geldbetrag, im einen doppelt so viel wie im anderen. Sie dürfen einen Umschlag öffnen und dann entscheiden, welchen der beiden Umschläge Sie nehmen.“

Eine intuitive Betrachtung

Intuitiv sollte es statistisch gesehen auf lange Sicht keinen Unterschied machen, ob getauscht wird oder nicht. Schließlich ist nicht erkennbar, weshalb der größere oder der kleinere Betrag beim Öffnen bevorzugt werden sollte. Es kann angenommen werden, dass die Umschläge vor dem Öffnen für Herrn Schmidt nicht zu unterscheiden sind und daher zunächst einmal der kleinere und der größere Betrag mit jeweils 50%iger Wahrscheinlichkeit geöffnet werden. Hier gilt das Indifferenzprinzip. Nach dem Öffnen erlangt Herr Schmidt scheinbar keine Zusatzinformation und aus Sicht von Herrn Schmidt sollte weiterhin das Indifferenzprinzip gelten. Unabhängig von der Art und Weise wie Herr Lemke zu den Briefumschlägen gekommen ist, sollten die Strategien „tausche niemals“ und „tausche bei jedem Betrag“ immer gleichwertig sein. Ausgehend vom Betrag Z Euro im geöffneten Umschlag sind jedoch nur 2 Z oder 1/2 Z möglich. Die bedingte Wahrscheinlichkeit dieser beiden Ereignisse ist jedoch unbekannt.

Das Umtauschparadoxon unter realistischen Bedingungen

Zwei-Zettel-Spiel und Umtauschparadoxon mit endlichen Beträgen

Das Umtauschparadoxon hat lediglich Ähnlichkeit mit einem Zwei-Zettel-Spiel. Allein das Öffnen eines Umschlags, hat hier jedoch Auswirkungen auf die Betrachtung des ungeöffneten Umschlags. Herr Schmidt weiß um die Abhängigkeit der beiden Umschläge. Wenn Herr Schmidt einen Umschlag mit null Euro öffnet, so müssen im verschlossenen Umschlag ebenfalls null Euro sein. Wenn Herr Schmidt einen Betrag Z > 0 Euro öffnet, so können im verschlossenen Umschlag nur Z/2 oder 2Z Euro sein. Im Gegensatz zum Zwei-Zettel-Spiel hat das Öffnen eines Umschlags also Auswirkungen auf die Erwartung welche Beträge im noch verschlossenen Umschlag möglich sind. Falls Herr Schmidt unter der Prämisse handelt, dass es einen Maximal- und einen Minimalbetrag geben müsse, so lohnt sich ein Tausch immer wenn der geöffnete Betrag kleiner als der doppelte Minimalbetrag ist und Tauschen lohnt sich nie, wenn der Betrag über dem halben Maximalbetrag liegt. Keinesfalls kann es unter dieser Annahme so sein, dass sich ein Tausch bei jedem Betrag lohnt und keinesfalls kann sich unter der genannten Annahme ein Tausch nie lohnen. Zudem ist sofort ersichtlich, dass die Anzahl der möglichen Kombinationen unter realistischen Bedingungen begrenzt ist.

Das Umschlagparadoxon als Gedankenexperiment

Richtig interessant wird das Briefumschlagspiel jedoch erst, wenn man es konsequent als Gedankenexperiment betrachtet und gedanklich zulässt, dass sowohl beliebig hohe, als auch beliebig niedrige Beträge zulässig seien.

Das Umtauschparadoxon mit unendlich großen und kleine Beträgen unter Annahme einer gleichen Wahrscheinlichkeit der Einzelergebnisse

Wenn uns stört, dass für die Erstellung der Briefumschlagpaare nur begrenzt Zeit zur Verfügung stand, so können wir die Erstellung der Umschlagpaare gedanklich beliebig weit in die Zukunft verlagern. Wenn Herr Lemke ein begrenztes Vermögen gewinnbringend angelegt hat, so wird in Zukunft auch jeder erdenklich hohe Betrag erreicht werden. Auch dass Beträge unter 1 Cent nicht in bar ausgezahlt werden können, stört bei einem Gedankenexperiment nicht. Sehr kleine Beträge und auch gedanklich gigantisch hohe Beträge besitzen ohnehin mehr symbolischen Wert. Bei der Frage, ob sich ein Tausch lohnt, ist daher zunächst einmal ist zu klären welche Zielsetzung mit einem Tausch verbunden ist. Geht es unter diesen Bedingungen weiterhin um eine Gewinnsteigerung im Sinne von „mehr Geld hinzugewinnen“ oder darum die Wahrscheinlichkeit für die Wahl des Umschlags mit dem höheren Betrag zu erhöhen also „häufiger gewinnen“?

Betrachtung unter der Zielsetzung die Gewinnwahrscheinlichkeit zu erhöhen

Intuitiv betrachtet scheint die Zielsetzung schon im Widerspruch zur Ausgangssituation zu stehen. Schließlich sind die beiden Umschläge von außen nicht zu unterscheiden und die Wahrscheinlichkeit den größeren oder kleineren Betrag gewählt zu haben beträgt 50%. An dieser Betrachtung sollte sich auch nach dem Öffnen nichts ändern. Ist dies wirklich so?

Stellen wir uns vor, dass Herr Lemke immer zwei Umschläge mit sich führt und bisher jeden Tag die Beträge in den Umschlägen verdoppelt hat. Am ersten Tag kamen also 1 und 2 Euro in die jeweiligen Umschläge, am 2. Tag 2 und 4 Euro und am 3. Tag 4 und 8 Euro. Wenn wir Herrn Lemke zufällig treffen, wissen wir nicht wie lange Herr Lemke dieses Verfahren schon durchgeführt hat. Falls wir zufällig den Umschlag von 4 Euro öffnen, können wir bei diesem Verfahren allenfalls voraussagen, dass entweder 2 oder 8 Euro im verschlossenen Umschlag sind. Tatsächlich sind bei diesem Verfahren die bedingten Wahrscheinlichkeiten für 2 und 8 Euro gleich, wenn 4 Euro geöffnet wurden. Abgesehen vom Startbetrag von 1 Euro ist Tauschen und Nichttauschen immer gleichwertig. Voraussetzung ist aber, dass Herr Lemke von diesem Verfahren nicht abweicht. Wechselt er die Umschläge nicht mehr nach 24 Stunden, sondern verkürzt die Wechselabstände bei jedem Durchgang, so ändern sich die Gewinnwahrscheinlichkeiten. Angenommen er trägt die ersten 24 Stunden die Umschläge (1;2) mit sich, danach 12 Stunden die Umschläge (2;4), 6 Stunden die Umschläge (4;8), so ist die Wahrscheinlichkeit auf dass Umschlagpaar (2;4) zu treffen jetzt also genau doppelt so hoch wie die Wahrscheinlichkeit auf (4;8) zu treffen. Wenn der Umschlag mit 4 Euro geöffnet wird, ist es besser den Umschlag zu behalten, da 2 Euro im ungeöffneten Umschlag zu finden wahrscheinlicher ist, als 4 Euro. Andererseits sollten auch 4 Euro und jeder höhere Betrag besser behalten werden, da sich immer ein eindeutiger Vorteil ergibt.

Verlängert Herr Lemke jedes Mal die Abstände, so ist Tauschen für jeden Betrag die bessere Alternative. Angenommen er behält die Umschläge (1;2) für 24 Stunden, die Umschläge (2;4) für 48 Stunden, die Umschläge (4;8) für 92 Stunden, dann gelten folgende Überlegungen. Wenn sich 1 Euro im Umschlag befindet, so ist ein Tausch immer sinnvoll. Befindet sich der Betrag Z im geöffneten Umschlag, so ist unter den genannten Bedingungen die Wahrscheinlichkeit für 2Z im ungeöffneten Umschlag doppelt so hoch wie für Z. Wenn wir uns vorstellen, dass das Verhältnis von Umtauschzeiten für die Umschlagkombinationen frei bestimmbar sind, kann Wahrscheinlichkeit für Gewinn oder Verlust beim Öffnen eines beliebigen Umschlags zwischen 0 und 100% liegen. Wobei die Grenzwerte 0 und 100% lediglich nicht für alle denkbaren Beträge gelten können.

Nach dem Öffnen eines Umschlags ändert sich also tatsächlich etwas an der 50/50-Wahrscheinlichkeit für den größeren und den kleineren Betrag. Sie kann weiterhin gelten, muss es aber nicht zwingend. Das liegt allein daran, dass die Umschläge jetzt unterscheidbar sind und die Wahrscheinlichkeiten für die Elementarereignisse "Betrag Z befindet sich im Umschlag" nicht alle gleich wahrscheinlich sein müssen. Der Umkehrschluss "Wenn es günstiger ist bei jedem Betrag zu tauschen, sollte auch schon vor dem Öffnen der verschlossene Umschlag genommen werden" ist in dieser Form nicht richtig. Vor dem Öffnen sind beide Umschläge gleichwertig. Erst wenn ein Umschlag geöffnet oder irgendwie gekennzeichnet wurde, kann ein Vorteil gegenüber dem ungeöffneten formuliert oder berechnet werden. Der erste ungeöffnete Umschlag ist genauso häufig die bessere Wahl wie der zweite ungeöffnete Umschlag. Der ungeöffnete kann durchaus immer besser sein als der geöffnete. Wenn ich beide Umschläge öffne gilt jedoch immer: Mit gleicher Wahrscheinlichkeit wurde erst der größere und danach der kleinere, bzw. erst der kleinere und danach der größere Betrag geöffnet.

Betrachtung der Umtauschsituation unter der Zielsetzung einer Gewinnsteigerung

Häufiger Gewinnen ist nicht gleichbedeutend mit statistisch mehr Geld gewinnen. Wer beim Roulettespiel immer gleichzeitig auf die Felder 13-36 (also 12M: Milieu und 12D: Dernier) setzt, gewinnt häufiger (in 24 von 37 Fällen) aber auf lange Sicht aber weniger Geld als er verliert. Tauschen lohnt sich unter dieser Betrachtung wenn der Erwartungswert des ungeöffneten Umschlags über dem Wert des bereits geöffneten Umschlags liegt. Wenn wir den geöffneten Betrag Z nennen, die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag p, so lohnt sich ein Tausch wenn gilt

2Z*p+0,5Z*(1-p) > Z

für Z ungleich 0 gilt die Bedingung

2p + 0,5 – 0,5p > 1

nach Umstellung

p > 1/3

Ein Tausch lohnt sich hinsichtlich einer Gewinnsteigerung immer, wenn die Wahrscheinlichkeit für den doppelten Betrag größer als 1/3 ist. Nur wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit für 2Z immer 1/3 ist, können wir die Umtauschsituation für jeden Betrag als ein faires Spiel betrachten.

• Ist die Wahrscheinlichkeit > 1/3 so hat Herr Schmidt ausgehend vom aufgedeckten Betrag auf lange Sicht beim Tauschen einen Vorteil,
• ist die Wahrscheinlichkeit < 1/3 so hat Herr Lemke ausgehend vom aufgedeckten Betrag auf lange Sicht beim Tauschen einen Vorteil,
• ist die Wahrscheinlichkeit immer > 1/3 so kommt Herr Schmidt auch bei jedem Betrag zum Ergebis, dass sich ausgehend von genau diesem Betrag ein Tausch auf lange Zeit lohnt.
• ist die Wahrscheinlichkeit immer < 1/3 so hätte Herr Lemke bei jedem Betrag einen Vorteil, wenn sich Herr Schmidt bei genau diesem Betrag auf lange Sicht immer wieder zum Tauschen entscheidet.

Die Betrachtung gilt natürlich nur unter der genannten Prämisse, dass sich Tauschen schon lohnt, wenn der Erwartungswert vom ungeöffneten Umschlag größer ist als der geöffnete Umschlag. Im tatsächlichen Leben sieht die individuelle Bewertung häufig völlig anders aus. Kaum jemand wird sein gesamtes Vermögen setzen, nur weil der Erwartungswert das vorhandene Vermögen um 1 Euro überschreitet. Das entspricht aber auch nicht der Ausgangssituation für Herrn Schmidt. Herr Schmidt kann durch Tauschen maximal das halbe Vermögen verlieren.

Vorläufiges Resümee

Ist es paradox, wenn Herr Schmidt zur Schlussfolgerung kommt, dass sich Tauschen für jeden Betrag lohnt? Zunächst einmal kann die Schlussfolgerung durchaus falsch sein, wenn die Voraussetzungen nicht zutreffen. Entscheidend ist aber, dass sie auch stimmen kann. Ein tatsächlicher Widerspruch ergibt sich nicht. Jeder Vorteil in der Umtauschsituation für Herrn Schmidt ist mit einem Nachteil für Herrn Lemke verbunden. Es entstehen durch Tauschen oder Nichttauchen keine zusätzlichen Beträge und es gehen auch keine Beträge verloren. Die Umtauschsituation kann wie ein gewöhnliches unfaires Roulettespiel betrachtet werden. Wir wissen lediglich nicht, ob wir Herrn Schmidt als Spieler oder Roulettespielbetreiber betrachten dürfen. Welche der beiden Möglichkeiten zutrifft wird aber nicht per Los entschieden, sondern ergibt sich aus Herrn Lemkes Auswahlverfahren für Umschlagkombinationen. Es wäre ein Fehler an dieser Stelle das Indifferenzprinzip vorauszusetzen. Herr Lemke bestimmt also ob die Umtauschsituation für Herrn Schmidt besser als fair, fair oder unfair ist. Das Umtauschparadoxon wird seinem Namen nicht gerecht, wenn man einen tatsächlichen inneren Widerspruch vermutet. Es verdient diesen Namen, wenn man unter Paradoxon einen scheinbaren Widerspruch versteht.

Selbstverständlich könnte Herr Lemke immer kompliziertere Auswahlverfahren mit Ausnahmen oder auch Erweiterungen entwerfen. Man kann sich vorstellen, dass ohnehin nur 2 Ereignisse (größerer und kleinerer Betrag) möglich seien. Andererseits kann man die Vorstellung dahingehend erweitern, dass vor dem Tauschen für die möglichen Beträge keine Einschränkungen gemacht werden und von einer geometrischen Verteilung ausgehen. Wichtig ist, dass bei den bisher formulierten Zielsetzungen Herr Schmidt will durch eine geschickte Tauschentscheidung abhängig vom aufgedeckten Betrag häufiger gewinnen, beziehungsweise Herr Schmidt will durch eine geschickte Tauschentscheidung statistisch mehr Geld gewinnen kein tatsächlicher Widerspruch auftritt.

Wie sinnvoll die Betrachtungen für Herr Schmidt sind, kann er nur selbst beantworten. Wenn ohnehin beliebig große Beträge im Spiel sind, erscheint jeder Versuch diesen Betrag noch steigern zu wollen für einen Außenstehenden eventuell fragwürdig, aber nicht per se unsinnig. Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass der gleiche Betrag bei Wiederholung des Spiels noch einmal aufgedeckt wird, gegen null geht, erscheint die Bedeutung des Erwartungswertes fragwürdig. Zu beachten ist aber, dass dieses Ereignis hierdurch nicht zum unmöglichen Ereignis wird.

Ob neben der Wahrscheinlichkeitsrechnung andere mathematische Methoden wie Kombinatorik oder Mengenlehre besser geeignet sind die Probleme beim Umtauschparadoxon zu beschreiben, darf jeder Leser selbst entscheiden.

Das stärkste Gegenargument

Ein letzter Zweifel bleibt: Wenn wir den kleineren Betrag kB und den größeren Betrag gB nennen, dann gilt vor und nach dem Öffnen immer 2xkB=gB. Die Differenz von beiden Umschlägen und damit der mögliche Gewinn/Verlust durch Tauschen oder Nichttauschen ist immer gB – kB = 2*kB – kB = kB. Herr Schmidt kann sich abmühen wie er will. Durch Tauschen kann er immer nur kB gewinnen oder den gleichen Betrag kB verlieren. Von einem unfairen Spiel kann bei dieser Betrachtung also überhaupt nicht mehr die Rede sein, da wir wissen, dass Herr Schmidt den größeren Betrag immer mit der gleichen Wahrscheinlichkeit wie den kleineren Betrag öffnen wird. Auf lange Sicht sollten sich Gewinne und Verluste für Herrn Schmidt immer ausgleichen.

Die Lösung für Herrn Schmidt

Der letzte Satz kann missverständlich aufgefasst werden. Wenn Herr Schmidt immer wieder neue Umschlagkombinationen erhält, so werden sich Gewinne und Verluste wie die Ereignisse "Kopf" und "Zahl" bei einem Münzwurf ausgleichen. Bei jeder ungeraden Anzahl von Würfen können beide Ereignisse jedoch nicht gleich häufig sein. Lediglich der Erwartungswert für beide Ereignisse ist gleich.

Die Lösung für Herrn Schmidt klingt banal. Herr Schmidt muss noch wesentlich genauer formulieren welches Ziel er beim Tauschen verfolgt und diese Formulierung sollte vor dem Öffnen des ersten Umschlags erfolgen. Es reicht nicht aus zu sagen, dass er statistisch mehr Geld bekommen möchte. Es ist zwingend ein Vergleich notwendig. Sucht er einen Vorteil im Vergleich zu einem fiktiven Spieler der in der gleichen Situation denselben Betrag Z aufdeckt und diesen Betrag behält oder sucht er nach einem Vorteil bei mehrfacher Wiederholung des Spiels gegenüber einem fiktiven Spieler der unabhängig vom aufgedeckten Betrag niemals tauscht? Wenn als Gegenspieler Herr Lemke betrachtet wird, so könnte der Wunsch bestehen auf lange Sicht mehr als die Hälfte derjenigen Summe zu gewinnen, die sich im Spiel befunden haben. Wird das Ziel nicht klar formuliert, so läuft Herr Schmidt Gefahr gedanklich mit verschiedenen fiktiven Gegnern zu kämpfen, die er besiegen möchte.

Psychologisch betrachtet neigen Menschen in vergleichbaren Situationen mit unklaren Wahrscheinlichkeitsverteilungen dazu Anker zu setzen. Bei der Beschreibung des Paradoxons wird in der Regel ein solcher Anker gesetzt, indem z.B. formuliert wird: "Stellen Sie sich vor in dem geöffneten Umschlag seien 100 Euro". Vor dem Öffnen bietet sich als Verankerung der vorhandene aber unbekannte Gesamtbetrag in beiden Umschlägen (kB+gB) an. Nach dem Öffnen drängt sich der jetzt sichtbare Betrag (Z) als Verankerung für weitere Betrachtungen geradezu auf.

Ein möglicher Denkfehler kann entstehen, wenn nicht erkannt wird, dass der gleiche Anker für verschiedene Situationen und Problemstellungen benutzt wird oder der gesetzte Anker wie eine Variable behandelt wird. Erschwert wird die Problematik, da nach dem Öffnen weder die Wahrscheinlichkeit für 2Z im ungeöffneten Umschlag, noch die Wahrscheinlichkeit für gB aus den vorhandenen Informationen berechnet werden kann und jede Beispielrechnung daher zwangsläufig auf Annahmen beruhen muss.

Annahme 1: Die Wahrscheinlichkeit den doppelten Betrag im verschlossenen Umschlag zu finden ist ausgehend von einem beliebigen Betrag Z im geöffneten Umschlag immer kleiner als 1/3

Aus dieser Annahme folgt, dass der Erwartungswert für den ungeöffneten Umschlag immer kleiner als der aufgedeckte Betrag Z ist. Angenommen Herr Schmidt öffnet den Betrag 8 Euro, so ist liegt der Erwartungswert für den ungeöffneten Umschlag zweifellos unter 8 Euro. Bei n-maliger Wiederholung des Experiments wird immer dann, wenn genau 8 Euro aufgedeckt wurden der Gesamtgewinn beim Tauschen auf lange Sicht kleiner als n*8 Euro werden. Eine mögliche abgeleitete Strategie lautet für Herrn Schmidt: "tausche diesmal und in Zukunft bei 8 Euro nicht und tausche in Zukunft immer, wenn keine 8 Euro aufgedeckt wurden." Auf lange Sicht ist diese Strategie gegenüber den Alternativen „tausche immer“ bzw „tausche nie“ im Vorteil. Sollte Herr Schmidt die Strategie ableiten: Tausche diesmal nicht bei 8 Euro und auch in Zukunft nie, wenn ein beliebiger Betrag Z aufgedeckt wird, so ist diese Strategie gleichbedeutend mit „tausche nie“ und bietet keinen Vorteil gegenüber der Strategie „tausche immer“. Sollte Herr Lemke erneut eine Wiederholung von vornherein ausschließen, so wäre die Strategie „tausche diesmal nicht beim aufgedeckten Betrag von 8 Euro“ gleichbedeutend mit „tausche nie“ und bietet somit erneut keinen Vorteil gegenüber „immer tauschen“.

Annahme 2: Die Wahrscheinlichkeit den doppelten Betrag im verschlossenen Umschlag zu finden ist ausgehend von einem beliebigen Betrag Z im geöffneten Umschlag immer größer als 1/3

Aus der Annahme folgt, dass der Erwartungswert für den ungeöffneten Umschlag immer größer als der aufgedeckte Betrag Z ist. Angenommen Herr Schmidt öffnet wieder den Betrag 8 Euro, so ist liegt der Erwartungswert für den ungeöffneten Umschlag zweifellos über 8 Euro. Dahinter steht der Gedanke, dass bei n-maliger Wiederholung des Experiments immer dann, wenn genau 8 Euro aufgedeckt werden der Gesamtgewinn beim Tauschen auf lange Sicht größer wird als n*8 Euro. Eine mögliche abgeleitete Strategie lautet für Herrn Schmidt: "tausche diesmal bei 8 Euro und auch in Zukunft nur dann, wenn 8 Euro aufgedeckt werden." Auf lange Sicht ist diese Strategie gegenüber den Alternativen „tausche immer“ bzw „tausche nie“ im Vorteil. Sollte Herr Schmidt die Strategie ableiten: Tausche diesmal bei 8 Euro und auch in Zukunft jedes Mal wenn ein beliebiger Betrag Z aufgedeckt wird, so ist diese Strategie gleichbedeutend mit „tausche immer“ und bietet keinen Vorteil gegenüber der Strategie „tausche nie“. Sollte Herr Lemke eine Wiederholung von vornherein ausschließen, so wäre die Strategie „tausche diesmal beim aufgedeckten Betrag von 8 Euro und auch in Zukunft bei dem gleichen Betrag“ gleichbedeutend mit „tausche nie“ und bietet somit auch keinen Vorteil gegenüber „immer tauschen“. Der einzige Ausweg für Herrn Schmidt wäre den Tauschbetrag im Vorfeld, also vor dem Öffnen des ersten Umschlags festzulegen.

Der Sonderfall: Die Wahrscheinlichkeit den doppelten Betrag im verschlossenen Umschlag zu finden sei ausgehend von einem beliebigen Betrag Z im geöffneten Umschlag 0,5

Ein schönes Beispiel für die Annahme 2 ist die Gleichverteilung von p=0,5 für alle aufgedeckten Beträge. Wenn dies einen Leser stört, so möge er berücksichtigen, dass auch p=0,3 nicht für alle vorkommenden Beträge realisiert werden kann. Die folgende Tabelle kann gedanklich nach links mit den Umschlagkombinationen (1;1/2), (1/2;1/4), (1/4;1/8) ... bzw. nach rechts mit den Umschlagkombinationen (32;64), (64;128), (128;256)... erweitert werden.

Doppelumschläge	...	1; 2		2; 4		4; 8		8; 16		16;32		...	Summe
verschlossener Umschlag (U1)		1	2	2	4	4	8	8	16	16	32		93
zunächst geöffnerer Umschlag (U2)		2	1	4	2	8	4	16	8	32	16		93
		_____	_____	_____	_____	_____	_____	_____	_____	_____	_____
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche immer" gegenüber U2 (U1-U2)		-1	1	-2	2	-4	4	-8	8	-16	16		0
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche nur bei 8 Euro" gegenüber "tausche nie" (U2)		0	0	0	0	-4	0	0	8	0	0		4
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche bis 8 Euro" gegenüber "tausche nie" (U2)		-1	1	-2	2	-4	4	0	8	0	0		8

Wenn irgendein konkreter Betrag Z genannt wird, ergibt sich folgendes Bild:

Doppelumschläge	...	Z/2; Z		Z; 2*Z		...	Summe
verschlossener Umschlag (U1)		Z/2	Z	Z	2*Z		4,5*Z
zunächst geöffnerer Umschlag (U2)		Z	Z/2	2*Z	Z		4,5*Z
		_____	_____	_____	_____
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche immer" gegenüber U2 (U1-U2)		-Z/2	Z/2	-Z	Z		0
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche nur bei Z Euro" gegenüber "tausche nie" (U2)		-Z/2	0	0	Z		Z/2
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche bis Z Euro" gegenüber "tausche nie" (U2)		-Z/2	Z/2	0	Z		Z

Man beachte, dass die Strategie "tausche immer" keinen Vorteil gegenüber "tausche nie" bietet. Zudem ist unter dieser Annahme der Zusatzgewinn von "tausche bis einschließlich Z Euro" gegenüber der Strategie "tausche bei Z Euro" doppelt so hoch.

Mögliche Denkfehler

Wird jeder aufgedeckte Betrag "Z" genannt und wie mit einer fixen Konstante weitergerechnet, so kann es zu einer Fehleinschätzung kommen:

Doppelumschläge	...	(Z;Z/2) oder (Z; 2*Z)				...	Summe
verschlossener Umschlag (U1)		Z/2	2*Z	Z/2	2*Z		5*Z
zunächst geöffneter Umschlag (U2)		Z	Z	Z	Z		4*Z
		_____	_____	_____	_____
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche immer" gegenüber U2 (U1-U2)		-Z/2	Z	-Z/2	Z		+Z

Der verschlossene Umschlag scheint bei mehrfacher Wiederholung besser zu sein als der zunächst geöffnete Umschlag.

Wird andererseits der Betrag im verschlossenen Umschlag "Z" genannt, scheint der zunächst gewählte Umschlag im Vorteil zu sein:

Doppelumschläge	...	(Z;Z/2) oder (Z; 2*Z)				...	Summe
verschlossener Umschlag (U1)		Z	Z	Z	Z		4*Z
zunächst geöffneter Umschlag (U2)		Z/2	2*Z	Z/2	2*Z		5*Z
		_____	_____	_____	_____
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche immer" gegenüber U2 (U1-U2)		Z/2	-Z	Z/2	-Z		-Z

Hintergrund ist, dass bei dieser Betrachtung eine Normierung des geöffneten bzw des verschlossenen Umschlags auf Z Euro stattfindet. Wenn heute ein Aktienkurs um 20% sinkt, so muss er um wieder den Ausgangskurs zu erreichen, um 25% steigen. Dabei spielt es keine Rolle ob er erst um 20% steigt und dann um 25 sinkt oder erst um 25 % steigt und dann um 20% sinkt. Übertragen auf das Umtauschparadoxon bedeutet dies: wenn der Wert beim Tauschen um 100 % steigt, so sinkt er beim Rücktausch um 50%. Sinkt er beim Tauschen zunächst um 50%, so steigt er beim Rücktausch um 100%. Gewinn und Verlust heben sich in der Umtauschsituation auf, wenn der Erwartungswert auf der Basis des zunächst aufgedeckten Betrages 1,25 beträgt.

Werden die aufgedeckten Beträge kB (kleiner Betrag) und gB (großer Betrag) genannt, so kann es auch zu einer Fehleinschätzung kommen.

Doppelumschläge	...	(gB;kB) oder (kB;gB)				...	Summe
verschlossener Umschlag (U1)		kB(4)	gB(8)	kB(8)	gb(16)		6*kB
zunächst geöffneter Umschlag (U2)		gb(8)	kB(4)	gB(16)	kB(8)		6*kB
		_____	_____	_____	_____
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche immer" gegenüber U2 (U1-U2)		-kb	kb	-kb	kb		0
Zusatzgewinn/-verlust bei der Strategie "tausche bei 8 Euro" gegenüber "tausche nie" (U2)		-kb	0	0	kb		0

Zwar werden jetzt die Strategien "tausche immer" und "tauche nie" gleich gut eingeschätzt. Die Strategie "tausche nur bei 8 Euro" scheint aber keinen Vorteil mehr zu haben, da der Differenzbetrag aus gB-kB = kB mit 50%iger Wahrscheinlichkeit hinzugewonnen wird oder verloren geht. Die Strategien "tausche bei 8 Euro" und "tausche nicht bei 8 Euro" sind aber nur dann gleichwertig, wenn die Wahrscheinlichkeit für "8 Euro ist der größere Betrag" 1/3 ist. In allen anderen Fällen sind sie nicht gleichwertig.

Tauschen oder Nichttauschen - was ist besser? Versuch einer Zusammenfassung

Die Antwort hängt davon ab, wie die Beschreibung der Ausgangslage aufgefasst wird. Voraussetzung für jede Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Vorstellung der Wiederholbarkeit und was genau unter welchen Bedingungen wiederholt wird. Genau dies wird bei der Beschreibung der Ausgangslage aber offen gelassen und ist der Hauptgrund, weshalb die unterschiedlichen Tauschentscheidungen paradox erscheinen können.

Eine mögliche Interpretation der Ausgangslage wäre, dass es sich bei der Beschreibung um ein singuläres Ereignis handelt. Zufall spielte keine Rolle. Selbst bei einer gedanklichen Wiederholung würde wie bei einem Drehbuch alles in gleicher Weise ablaufen. Bei dieser Vorstellung steht bereits beim Verteilen der Umschläge fest welcher Umschlag zuerst gereicht wird, welchen Betrag Herr Schmidt öffnet und darüber hinaus auch welcher Betrag sich im verschlossenen Umschlag befindet.

Die Ausgangslage kann auch so aufgefasst werden, dass Herr Lemke die beiden Beträge einmalig festgelegt hat und bei einer beliebigen Wiederholung immer wieder die gleichen Beträge in den Umschlägen sind. Das Zufallsexperiment bezieht sich dann lediglich auf die letzte Phase. Die beiden Beträge können jetzt eindeutig als kB und gB bezeichnet werden. Wenn ein Betrag geöffnet wird, so ist er weiterhin mit 50% der kleinere und mit 50% der größere Betrag.

Manchmal wird das Umtauschparadoxon etwas anders geschildert: "Stellen Sie sich vor sie öffnen einen Umschlag mit 100 Euro und dürfen dann tauschen". Diese Schilderung kann so aufgefasst werden, dass der Tausch nicht immer angeboten wird, sondern nur bei 100 Euro. Wenn bei 50 bzw 200 Euro aber kein Tausch angeboten wird, so dürfen die 100 Euro jetzt auch getrost Z genannt werden und ein Tausch lohnt sich, wenn der Erwartungswert für den ungeöffneten Umschlag größer als Z ist. Zum gleichen Ergebnis kommt Herr Schmidt, wenn der Tausch zwar regelmäßig angeboten wird, er sich aber im Vorfeld festlegt nur bei 100 Euro zu tauschen und sonst nie.

Wer einen Schritt weiter gehen möchte, kann auch das Verhältnis der beiden Umschläge als zufällig betrachten. Statt doppelter Betrag könnte auch dreifacher, zehnfacher oder 1,1-facher Betrag bei einer gedanklichen Wiederholung genannt werden. Bei dieser Interpretation entspricht die Ausgangssituation aber dem Zwei-Zettel-Spiel.

letzte Änderung: --HerrLemke (Diskussion) 13:37, 1. Apr. 2012 (CEST)

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