Benutzer:HerrmannM/test

Die Smoothing Spline nach Reinsch in 1967. ist eine Spezialisierung der kubischen Spline, bei der mithilfe einer Nebenbedingung Einfluss auf das Maß der Krümmung genommen werden kann. Da die Smoothing Spline durch die weichzeichnende Nebenbedingung nicht mehr durch die vorgegebenen Stützstellen verläuft, sondern nach der Methode der kleinsten Quadrate in die gegebenen Knoten gefittet wird, spricht man in diesem Zusammenhang nicht mehr von Splineinterpolation, sondern von einer Splineregression oder Splineapproximation.

Beschreibung

Ausgangspunkt ist eine gegebene Folge von Beobachtungen $(x_{i},y_{i})$ der Form

$x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n},i\in \mathbb {Z}$

die im Allgemeinen auch als Stützstellen bezeichnet werden. Die weichzeichnende Eigenschaft der Smoothing Spline $f_{S}(x)$ wird erzielt, indem das Integral über der zweiten Ableitung $f''_{S}(x)$ minimiert wird.

$\int _{x_{1}}^{x_{n}}f_{S}''(x)^{2}\,dx\rightarrow min$

Diese Forderung allein hat allerding zur Folge, dass die Spline gegen eine Linie konvergiert. Daher wird in einer Nebenbedingung zusätzlich gefordert, dass das Quadrat der Differenz zwischen Funktionswert ${\hat {y}}_{i}=f_{S}(x_{i})$ und Beobachtung $y_{i}$ einen gegebenen Schwellwert $S$ nicht übersteigt:

$g(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}-f_{S}(x_{i})}{\sigma _{i}}}\right)^{2}\leq S$

Der Faktor $\sigma _{i}$ entspricht der Gewichtung der einzelnen Beobachtungen und wird in der Praxis oft vernachlässigt ($\sigma _{i}=1$). Beide Forderungen mithilfe der Variationsrechnung zur einem Funktional kombinieren.

${\mathcal {L}}(x,\lambda ):=\int _{x_{1}}^{x_{n}}f_{S}''(x)^{2}\,dx+\lambda \left(\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {y_{i}-f_{S}(x_{i})}{\sigma _{i}}}\right)^{2}+z^{2}-S\right)$

Der Faktor $\lambda$ ist hier der Lagrange-Multiplikator und $z^{2}$ die Schlupfvariable durch welche die Nebenbedingung, in Form der Ungleichung $g(x)\leq S$, erfüllt ist. Mithilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen kann nun das Optimum des Funktionals bestimmt werden und es lasst sich zeigen, dass

${\mathcal {L}}'(x,\lambda )=0\Rightarrow f''''(x)=0$

gilt und $f(x)$ damit ein kubisches Polynom sein muss.

De Boor's Ansatz

De Boor's Ansatz beschreibt die gleiche Idee, eine weiche Kuve für eine gegebene Menge von Beobachtungen zu approximieren.

$p\sum _{i=1}^{n}((Y_{i}-{\hat {\mu }}(x_{i}))/\delta _{i})^{2}+(1-p)\int {\hat {\mu }}^{(m)}(x)^{2}\,dx$

der Parameter $p$ wird weichzeichnungs Faktor genannt und liegt auf dem Intervall $[0,1]$. Die Faktoren $\delta _{i};i=1,\dots ,n$ sind auch hier die Gewichte der einzelne Beobachtungen.

Einzelnachweise

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