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Epimorphismus

Satz Für ein $f\in Hom_{R}(M_{R},N_{R})$ sind äquivalent:

1. Die Abbildung $f$ ist surjektiv.
2. $f$ ist rechts kürzbar. Das heißt für alle Moduln $Z_{R}$ und alle $g,h\in Hom_{R}(N_{R},Z_{R})$ gilt: $gf=hf\Rightarrow g=h$.
3. $N_{R}/f(M)=0$. Dabei ist $N_{R}/f(M)$ der Faktormodul von N modulo f(M).

Ein Homomorphismus, welcher die Eigenschaften des Satzes erfüllt heißt Epimorphismus. Die zweite Eigenschaft des Satzes besagt, dass der Homomorphismus im Sinne der Kategorientheorie ein Epimorphismus ist.

Beispiele

1. Die Identität $M_{R}\ni m\mapsto m\in M$ ist ein Epimorphismus.
2. Ist $R$ ein Integritätsring und $K_{R}$ sein Quotientenkörper, so ist jeder Homomorphismus $0\neq \in Hom_{R}(K_{R},K_{R})$ ein Monomorphismus und ein Epimorphismus.
3. Es sei p eine Primzahl und $\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{z\cdot p^{-i}|z\in \mathbb {Z} ,i\in \mathbb {N} \}$ der kleinste Unterring der rationalen Zahlen, der $p^{-1}$ enthält. Ist $M_{\mathbb {Z} }:=\mathbb {Z} [p^{-1}]/\mathbb {Z}$, so ist jeder Endomorphismus von $M_{\mathbb {Z} }$ ungleich der Nullabbildung ein Epimorphismus. Aber die Multiplikation mit p ist kein Monomorphismus.

Eigenschaften

1. Die Verkettung von Epimorphismen ist ein Epimorphismus.
2. Ist $f\in Hom_{R}(M_{R},N_{R}),\quad g\in Hom_{R}(N_{R},Z_{R})$ und $gf$ ein Epimorphimus, so ist $g$ ein Epimorphsmus und es ist $Kern(g)+f(M)=N$.