Benutzer:Hmilch/Hermitesch

Hermitesche Operatoren spielen eine zentrale Rolle in der Quantenmechanik, denn alle physikalischen Observablen werden durch lineare, selbstadjungierte Operatoren beschrieben, und diese sind hermitesch.

Einen Operator kann man als mathematische Handlungsanweisung auffassen, was mit einer mathematischen Funktion (z. B. der Wellenfunktion eines Teilchens) zu geschehen hat. Haben diese Operatoren bestimmte, unten definierte mathematische Eigenschaften, bezeichnet man sie als hermitesch.

In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator auf einem Hilbert-Raum hermitescher Operator (benannt nach dem französischen Mathematiker Charles Hermite), wenn er durch seinen adjungierten Operator erweitert wird. Stimmt er sogar mit seinem adjungierten Operator überein, so nennt man ihn selbstadjungiert. Für beschränkte Operatoren fallen diese beiden Begriffe zusammen. In der Quantenmechanik treten die selbstadjungierten Operatoren als Observable auf, häufig in der Form von Differentialoperatoren wie z. B. in der Schrödinger-Gleichung.

Definition

Hier wird die in der Physik gebräuchliche Bra-Ket-Notation (Dirac-Schreibweise, nach Paul Dirac) verwendet. Für eine alternative, eher mathematisch orientierte Definition siehe selbstadjungierter Operator.

Der Operator $A$ operiere auf Funktionen aus dem Hilbertraum ${\mathcal {H}}$, hier als ket-Vektoren geschrieben (und die konjugierte Funktion als bra-Vektor):

$|\psi \rangle =\mathbf {A} |\varphi \rangle$

Der adjungierte Operator $A^{*}$ (oft auch $A^{\dagger }$ geschrieben) operiert analog auf die bra-Vektoren:

$\langle \psi |=\langle \varphi |A^{*}$

Gilt nun für das Skalarprodukt beliebiger bra- und ket-Vektoren

$\langle \psi |A|\varphi \rangle =\langle \psi |A^{*}|\varphi \rangle$

oder genauer

$\langle \psi |(A|\varphi \rangle )=(\langle \psi |A^{*})|\varphi \rangle$,

so heißt der Operator hermitesch. Für beschränkte Operatoren ist die Eigenschaft hermitesch äquivalent zu selbstadjungiert:

$\,H=H^{*}$

Ein linearer Operator heißt anti-hermitesch, wenn folgende Gleichung gilt:

$\,I=-I^{*}$

Eigenschaften hermitescher Operatoren

• Jeder lineare Operator lässt sich als eine Summe eines hermiteschen und antihermiteschen Operators darstellen: ${\hat {A}}={\hat {H}}+{\hat {I}}$

• Die Eigenwerte $a$ eines hermiteschen Operators ${\hat {A}}|\psi \rangle =a|\psi \rangle$ sind reell.
• Das Bra-Spektrum $\langle \varphi |{\hat {A}}=\langle \varphi |a$ erzeugt die gleichen Eigenwerte wie das Ket-Spektrum ${\hat {A}}|\psi \rangle =a|\psi \rangle$

• In Matrixdarstellung ist die transponierte Matrix gleich der komplex konjugierten, siehe hermitesche Matrix.

Beispiele

Ein wichtiger hermitescher Operator ist z. B. der Hamilton-Operator, der eine Beschreibung der Energie eines quantenmechanischen Systems darstellt. Die Hermitizität des Hamiltonoperators stellt sicher, dass alle Energie-Eigenwerte reell sind und, da der Hamiltonoperator über die Schrödingergleichung die Zeitentwicklung der durch bra- und ket-Vektoren symbolisierten Zustände beschreibt, dass die Norm eines physikalischen Zustandes (einer Wellenfunktion) zeitlich konstant bleibt.

Hermitesche Matrix

Eine Matrix $A$ heißt hermitesch (nach Charles Hermite) oder selbstadjungiert genau dann, wenn sie gleich ihrer (hermitesch) Adjungierten $A^{*}$, also gleich der transponierten und komplex konjugierten Matrix ist. D. h.

$A=A^{*}={\overline {A}}^{T}={\overline {A^{T}}}\,.$

Beachte: Für die adjungierte Matrix finden sich auch die Bezeichnungen A^H und A^†, für die komplex konjugierte Matrix früher auch A^* (Vorsicht!).

Für die Elemente einer hermiteschen Matrix gilt also:

$A_{ij}={\overline {A_{ji}}}$

Anders formuliert ist eine Matrix $A$ genau dann hermitesch, wenn ihre Transponierte gleich ihrer komplex Konjugierten ist, d.h. $A^{\mathrm {T} }={\overline {A}}\,$.

Eigenschaften:

1. Die Matrix ist quadratisch.
2. Die Hauptdiagonalelemente sind reell.
3. Der Realteil ist symmetrisch, $\mathrm {Re} (A_{ij})=\mathrm {Re} (A_{ji})\,,$ der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch, $\mathrm {Im} (A_{ij})=-\mathrm {Im} (A_{ji})\,.$
4. Die Eigenwerte hermitescher Matrizen sind reell, die Eigenvektoren bilden ein Orthogonalsystem.
5. Hermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
6. Im Reellen fallen die Begriffe hermitesch und symmetrisch zusammen. Reelle symmetrische Matrizen lassen sich reell diagonalisieren.

Eine Matrix $B$ heißt schiefhermitesch oder antihermitesch genau dann, wenn sie gleich ihrer negativen Adjungierten ist:

$B=-B^{*}=-{\overline {B}}^{T}\,.$

Eigenschaften:

1. Die Matrix ist quadratisch.
2. Die Hauptdiagonalelemente sind rein imaginär.
3. Der Realteil ist schiefsymmetrisch, der Imaginärteil ist symmetrisch.
4. Die Eigenwerte schiefhermitescher Matrizen sind rein imaginär, die Eigenvektoren bilden ein Orthonormalsystem.
5. Antihermitesche Matrizen lassen sich immer diagonalisieren.
6. Im Reellen fallen die Begriffe schiefhermitesch und schiefsymmetrisch zusammen. Reelle schiefsymmetrische Matrizen lassen sich durch reellen Basiswechsel in blockdiagonale Form bringen mit Blöcken

$r\,{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}\ ,\ r\in \mathbb {R} \,.$