Benutzer:Hourssales/Stuff

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Mike'sche Quersummengleichung

$\mathrm {q} (x)=\sum _{i=0}^{\mathrm {Int} \log x}\left(\mathrm {Int} {\frac {x}{10^{i}}}\ -\ 10\mathrm {Int} {\frac {x}{10^{i+1}}}\right)$

Juhuuu, Weltformel!

$\mu _{0}\,\varepsilon _{0}\,c^{2}=-e^{i\pi }$

Beweis für die Konvergenz von Produktfolgen

Satz: Seien $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$, $\left(y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen in $\mathbb {R}$ mit $x_{n}\to x$, $y_{n}\to y$, so gilt: $\left(x_{n}y_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\to \left(xy\right)$

Beweis:
z.Z. $\left|x_{n}y_{n}-xy\right|\leq \varepsilon$

Dazu suchen wir eine Konstante k, für die gilt:
$\forall n\in \mathbb {N} :\left|x_{n}\right|\leq k\land \left|y_{n}\right|\leq k$

Da $x_{n}$ und $y_{n}$ konvergent sind, gibt es eine solche Konstante.
Dazu passen wir die Konvergenzbedingung von $x_{n}$ und $y_{n}$ an. Wichtig ist nur, dass das "neue Epsilon" konstant bleibt, also nur Konstanten bei dessen Veränderung genutzt werden dürfen. Ich nutze dazu $\varepsilon _{\text{neu}}:={\frac {\varepsilon }{2k}}$. Da k konstant ist, darf ich das. Nun gilt für $x_{n}$ und $y_{n}$:

${\begin{aligned}\forall n\leq N_{\varepsilon _{\text{neu}}}:\\\left|x_{n}-x\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2k}}\\\left|y_{n}-y\right|\leq {\frac {\varepsilon }{2k}}\end{aligned}}$

Erinnern wir uns an das, was wir eigentlich zeigen wollten:

${\begin{aligned}\left|x_{n}y_{n}-xy\right|\leq \varepsilon \\\left|x_{n}y_{n}-xy\right|&=\left|x_{n}y_{n}-x_{n}y+x_{n}y-xy\right|\\&\leq \left|x_{n}y_{n}-x_{n}y\right|+\left|x_{n}y-xy\right|\\&=\left|x_{n}\right|\left|y_{n}-y\right|+\left|y\right|\left|x_{n}-x\right|\\&\leq k{\frac {\varepsilon }{2k}}+k{\frac {\varepsilon }{2k}}\\&={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}\\\left|x_{n}y_{n}-xy\right|&\leq \varepsilon \quad {\ddot {\smile }}\end{aligned}}$