Benutzer:Humbug/Radonmaß

Radonmaße sind die wichtigste Klasse von Maßen, die auf der Borel-Algebra eines Hausdorff-Raumes definiert sind (manchmal, der Sprachgebrauch schwankt, „Borel-Maße“ genannt). Sie sind nach Johann Radon benannt, der sie in seiner Habil-Schrift (1913) einführte, und durch ihre Regularität ausgezeichnet.

Eine Definition lautet:

Ein Radon-Maß auf einem Hausdorff-Raum X ist ein Maß μ, das auf der Borel-Algebra von X definiert ist, und für das gilt:

μ ist endlich auf kompakten Teilmengen: $\mu |{\mathfrak {K}}<\infty$

(1)

μ ist regulär von innen (auf kompakten Mengen): $\mu (A)=\inf\{\mu (K)|K\subset A,K\in {\mathfrak {K}}\}$

(2)

Wenn X zusätzlich lokal kompakt ist, so kann man Radonmaße äquivalent als positive Linearformen auf den stetigen reellen Funktionen mit kompaktem Träger, $C_{c}(X)$, definieren;

Definitionen

Nach Anger/Portenier: Radon Integrals (Progress in Mathematics; 103):

»In topological measure theory, Radon measures are the most important objects. In the context of locally compact spaces, there are two equivalent canonical definitions. As a set function, a Radon measure is an inner compact regular Borel measure, finite on compact sets. As a functional, it is simply a positive linear form, defined on the vector-lattice of continuous real-valued functions with compact support. [. . .]

»For a Radon measure on an arbitrary Hausdorff space, essentially three equivalent definitions have been proposed:

»As a set function, it was defined by L. Schwartz as an inner compact regular Borel measure which is locally bounded. G. Choquet considered it as a strongly additive right continuous content on the lattice of compact subsets. Following P.A. Meyer, N. Bourbaki defined a Radon measure as a locally uniformly bounded family of compatible positive linear forms, each defined on the vector lattice of continuous functions on some compact subset.« (p.1)

König: »We define a Radon content on X to be a ccontent α : A → [0, ∞] on some A ⊂ P(X) with K ⊂ A such that α|K < ∞ and α is inner regular K. Thus the restriction ϕ := α|K reproduces α = ϕ⋆ |A. When α is a cmeasure it is called a Radon measure on X. It will be seen that Radon contents can be extended to Radon measures and thus could be dismissed in principle. In the literature the name Radon measure is often reserved for the Borel-Radon measures α : Bor(X) → [0, ∞].

Literatur

• Bernd Anger; Claude Portenier: Radon integrals : an abstract approach to integration and Riesz representation through function cones. – Boston et al.: Birkhäuser, 1992 (Progress in mathematics; 103) ISBN 0-8176-3630-7 ZBl. 0757.28009
• Vladimir I. Bogachev: Measure theory. – Berlin, 2007 ISBN 978-3-540-34513-8
• Heinz König: Measure and integration : an advanced course in basic procedures and application. – Berlin ²2009 [1997] ISBN 978-3-540-61858-4
• Johann Radon: „Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen“, Sitzungsber. Wien, Math.-Nat. Kl. 122, 1295–1438 (1913). – JFM 44.0464.03. Abgedruckt in Gesammelte Abhandlungen, Bd. 1, 45–188 (1987). ISBN 3-7001-1103-7 ISBN 3-7643-1892-9