Benutzer:Jake2042/Spielwiese
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Eine Alternative: Wahrheitswertanalyse nach Quine
Wahrheitstabellen sind in vielen Fällen eine rationelle und einfach zu handhabende Methode der Wahrheitswertanalyse. Sie haben jedoch den Nachteil, dass immer alle Fälle durchgegangen werden müssen. Die Anzahl der Fälle steigt aber mit der Anzahl der Variablen (Satzbuchstaben) im Verhältnis an. Bei 2 Variablen gibt es 4 Fälle, bei 3 Variablen 8 Fälle, bei 4 Variablen 16 Fälle usw. Bei vielen Variablen kann die Wahrheitswertanalyse durch Wahrheitstabellen recht aufwändig werden.
Deshalb schlägt Quine in seinem Buch Grundzüge der Logik[1] eine alternative Form der Wahrheitswertanalyse vor. Auf Seite 54 gibt Quine das folgende Beispiel mit drei Variablen bzw. Satzbuchstaben (P, Q und R):
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Der Beispielterm (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬R) → (Q ↔ R) ist also in zwei Fällen falsch: bei P/w|Q/w|R/f und bei P/f|Q/w|R/f. Die Wahrheitstabelle dazu sieht so aus:
| P | Q | R | (P | ∧ | Q) | ∨ | (¬P | ∧ | ¬R | → | (Q | ↔ | R) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | w | w | w | w | w | f | f | f | w | w | w | w |
| w | w | f | w | w | w | w | f | f | w | f | w | f | f |
| w | f | w | w | f | f | f | f | f | f | w | f | f | w |
| w | f | f | w | f | f | f | f | f | w | w | f | w | f |
| f | w | w | f | f | w | f | w | f | f | w | w | w | w |
| f | w | f | f | f | w | w | w | w | w | f | w | f | f |
| f | f | w | f | f | f | f | w | f | f | w | f | f | w |
| f | f | f | f | f | f | w | w | w | w | w | f | w | f |
Ein einfacheres Beispiel ist die Definition der Implikation:
(A → B) ↔ (¬A ∨ B)
Die Wahrheitstabelle dazu sieht so aus:
| A | B | (A | → | B) | ↔ | (¬A | ∨ | B) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| w | w | w | w | w | w | f | w | w |
| w | f | w | f | f | w | f | f | f |
| f | w | f | w | w | w | w | w | w |
| f | f | f | w | f | w | w | w | f |
Die Wahrheitswertanalyse nach Quine sieht bei diesem Beispiel so aus:
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Bei der von Quine vorgeschlagenen Methode der Wahrheitswertanalyse werden die Variablen bzw. Satzbuchstaben also schrittweise durch ihre Wahrheitswerte ersetzt. Dabei werden dann zeilenweise Fallunterscheidungen vorgenommen, so dass eine baumartige Struktur entsteht. In beiden Beispielen, dem von Quine und der Definition der Implikation, ist auch zu sehen, dass nicht immer alle Fälle durchgegangen werden müssen, was bei vielen Variablen ein Vorteil gegenüber Wahrheitstabellen sein kann. Durch beide Methoden können die Fälle, in denen ein Term wahr bzw. falsch wird exakt ermittelt werden. Daher leisten beide Methoden dasselbe, sind also äquivalent.
- ↑ Quine, Willard Van Orman: Grundzüge der Logik. 6. Auflage. Suhrkamp, Frankfurt am Main 1988, ISBN 3 518 27665 4(?!), S. 49–56 (§5 Wahrheitswertanalyse).
