Benutzer:JoKalliauer/ArtikelentwurfDehnungsmessung

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Dehnungsmessung

Es gibt unterschiedliche Methoden Verzerrungen zu definieren. Welche Methode man nimmt hängt davon ab, welche Dehnungsmessung das Material am besten repräsentiert. Die bekannteste Dehnungsmessung ist $\varepsilon _{nom}={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {\ell -L}{L}}$. Wenn ein Körper in der undeformierten, ev. Starrkörperbewegter ist, ist die Verzerrung in jeglicher Verzerrungsmessung gleich Null. Aufgrund des hookeschen Gesetzes $\mathbf {\sigma } =\mathbf {C} \cdot \mathbf {\varepsilon }$, der den linearisierten Zusammenhang um den Nullpunkt zwischen Spannung und Dehnung beschreibt muss die Ableitung ${\frac {\delta \varepsilon (0)}{\delta \lambda }}=1$ sein. Der Sinn von Dehnungsmessungen ist einen Zusammenhang zwischen Spannungen und Dehnungen zu machen. Des Weiteren muss ${\frac {\delta \varepsilon }{\delta \lambda }}>0\ \forall \ \lambda >0$, damit bei Dehnung man eine positive Verzerrung bekommt.

Deformationsgradient

→ Hauptartikel: Deformationsgradient

Der Deformationsgradient macht einen Zusammenhang zwischen der undeformierte Lage und der undeformierten Lage: $\mathrm {d} {\vec {x}}=\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} {\vec {X}}$, wobei hier Starrkörpertranslationen nicht eingehen. Starrkörperverdrehungen jedoch schon. Da Starrkörperverdrehungen vergleichbar mit einem Basiswechsel sind, führen Starrkörperverdrehungen zu keinen Spannungen. Und da Spannungen im linearisierten Bereich proportional zu den Verzerrungen sind, sind auch die Verzerrungen gleich null, deshalb trennt man beim Deformationsgradienten zwischen den symmetrischen Anteil, den Verzerrungen $\mathbf {\varepsilon }$, und den antisymmetrischen Anteil, den Starrkörperrotationen $\mathbf {\omega }$. Dies ist jedoch nur bei kleinen Verschiebungsableitungen möglich.

Dehnungsrate

$\ \lambda ={\frac {\ell }{L}}$

lineare Dehung

$\ \varepsilon _{nom}={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {\ell -L}{L}}=\lambda -1$

logaritmische Dehung

$\ {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon _{ln}&=\int _{L}^{\ell }{\frac {\delta \ell }{\ell }}\\\varepsilon _{ln}&=\ln \left({\frac {\ell }{L}}\right)=\ln(\lambda )\\\end{aligned}}$

Green-Lagrange Verzerrungstensor

$\ \varepsilon _{G}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\ell ^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)$

Almansi Verzerrung

$\ \varepsilon _{E}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\ell ^{2}-L^{2}}{\ell ^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)$

Einzelnachweise

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