Benutzer:JonskiC/Prognose (Statistik)

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Prognose

Ein einfaches Modell zur Prognose von endogenen Variablen ergibt sich durch

$\mathbf {y} _{0}=\mathbf {X} _{0}\mathbf {\beta } +{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0}$,

wobei $\mathbf {y} _{0}$ den Vektor von zukünftigen abhängigen Variablen und $\mathbf {X} _{0}$ die Matrix der erklärenden Variablen zum Zeitpunkt $T_{0}$ darstellt.

Die Voraussage wird wie folgt dargestellt: ${\hat {\mathbf {y} }}_{0}=\mathbf {X} _{0}\mathbf {b}$, woraus sich folgender Voraussagefehler ergibt: ${\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}$

Eigenschaften des Voraussagefehlers:

Der Voraussagefehler ist im Mittel null: $\operatorname {E} ({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0})=\operatorname {E} (\mathbf {X} _{0}(\mathbf {b} -\mathbf {\beta } )-{\boldsymbol {\varepsilon }}_{0})=0$

Die Varianz-Kovarianz-Matrix des Voraussagefehlers lautet: $\operatorname {E} [({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}-\operatorname {E} ({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}))(({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}-\operatorname {E} ({\hat {\mathbf {y} }}_{0}-\mathbf {y} _{0}))^{T}]=\sigma ^{2}[\mathbf {X} _{0}(\mathbf {X} ^{T}\mathbf {X} )^{-1}\mathbf {X} _{0}^{T}+\mathbf {I} ]$

Ermittelt man einen Prognosewert, möchte man möglicherweise wissen, in welchem Intervall sich die prognostizierten Werte mit einer festgelegten Wahrscheinlichkeit bewegen. Man wird also ein Konfidenzintervall für den durchschnittlichen Prognosewert $\operatorname {E} (\mathbf {y} _{0})$ ermitteln. Im Fall der linearen Einfachregression ergibt sich für die Varianz des Prognosefehlers

$\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})=\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{T}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\right)$.

Man erhält dann als $(1-\alpha )$-Konfidenzintervall für die Varianz des Prognosefehlers

$[{\hat {y}}_{0}-t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})}}\;;\;{\hat {y}}_{0}+t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\operatorname {Var} ({\hat {y}}_{0}-y_{0})}}]$.

Speziell für den Fall der einfachen linearen Regression ergibt sich das Prognoseintervall:

$\left[{\hat {y}}_{0}-t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{T}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\right)}}\;;\;{\hat {y}}_{0}+t_{1-\alpha /2;T-K}\cdot {\sqrt {\sigma ^{2}\left(1+{\frac {1}{T}}+{\frac {(x_{0}-{\bar {x}})^{2}}{\sum \limits _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\right)}}\right]$

Aus dieser Form des Konfidenzintervalls erkennt man sofort, dass das Konfidenzintervall breiter wird, wenn sich die exogene Prognosevariable $x_{0}$ vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der endogenen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.

Prognose

Oft ist man daran interessiert für einen neuen Wert $x_{0}$ die (Realisierung) der endogenen Variablen $y_{0}$ zu schätzen. Beispielsweise könnte $x_{0}$ der geplante Preis eines Produktes sein und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0} der Absatz sein. In diesem fall nimmt man das gleiche einfache Regressionsmodell wie oben dargestellt an. Für eine neue Beobachtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0} mit dem Wert der exogenen Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} ist die Prognose basierend auf der linearen Einfachregression gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{y}_0 = b_0 +b_1 x_0}

Da man den Wert der endogenen Variablen nie genau vorhersehen kann, ergibt sich immer ein Schätzfehler. Dieser Fehler wird als Prognosefehler bezeichnet und ergibt sich aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{y}_0- y_0}

Im Fall der linearen Einfachregression ergibt sich für die Varianz und den Erwartungswert des Prognosefehlers

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2_{0}=\operatorname{Var} ({\hat{y}}_0-y_0) = \sigma^2\left(1+\frac {1}{n}+ \frac {(x_0 - \bar x)^2} {\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 }\right)}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E(\hat{y}_0- y_0)=0} .

Man erhält dann als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1- \alpha)} -Prognoseintervall für den prognostizierten Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\hat{y}}_0 \pm t_{(1- \alpha/2)}(n-2) \cdot \sqrt { \hat{\sigma}^2\left(1+\frac {1}{n}+ \frac {(x_0 - \bar x)^2} {\sum\limits_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2 }\right)}} .

Aus dieser Form des Konfidenzintervalls erkennt man sofort, dass das Konfidenzintervall breiter wird, wenn sich die exogene Prognosevariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} vom „Gravitationszentrum“ der Daten entfernt. Schätzungen der endogenen Variablen sollten also im Beobachtungsraum der Daten liegen, sonst werden sie sehr unzuverlässig.