Benutzer:Julian Nill/Satz von Leray-Hirsch

Der Satz von Leray-Hirsch, benannt nach Jean Leray und Guy Hirsch, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Er ist ein Spezialfall der Leray-Spektralsequenz und eine Verallgemeinerung des Satzes von Künneth, welcher ein Bezug der Kohomologie eines Produktraumes mit dem Tensorprodukt der Kohomologien der einzelnen Faktoren herstellt.

Formulierung des Satzes

Sei $p\colon E\to B$ ein Faserbündel mit Faser $F$ und $R$ ein kommutativer Ring mit Eins, sodass die folgenden zwei Bedingungen gelten:

• $H^{n}(F;R)$ ist für jedes $n\in \mathbb {N}$ ein endlich erzeugter freier $R$-Modul und
• es existieren Klassen $c_{j}\in H^{k_{j}}(E;R)$, sodass die Einschränkungen $i^{*}(c_{j})$ eine Basis von $H^{*}(F;R)$ in jeder Faser $F$ bilden, wobei $i\colon F\to E$ die Inklusion ist.

Dann ist die Abbildung $\Phi \colon H^{*}(B;R)\otimes _{R}H^{*}(F;R)\to H^{*}(E;R)$ mit $\sum _{i,j}b_{i}\otimes i^{*}(c_{j})\mapsto \sum _{i,j}p^{*}(b_{j})\smile c_{j}$ ein Isomorphismus.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, New York 2001, ISBN 0-521-79160-X, S. 432.