Benutzer:Kinesumi/Fuzzy Mengen

Unscharfe Mengen sind Mengen, deren Elemente eine Zugehörigkeitsfunktion besitzen. Unscharfe Mengen wurden gleichzeitig von Lotfi Asker Zadeh und Dieter Klaua eingeführt als eine Erweiterung der Klassischen Mengenlehre. In der Klassischen Mengentheorie wird die Zugehörigkeit von Elementen zu einer Menge mit einem binären Operator dargestellt. Entweder gehört ein Element zu einer Menge oder es gehört nicht dazu. Dagegen erlaubt die unscharfe Mengentheorie die graduelle Zugehörigkeit eines Elementes zu einer Menge. Dieses wird mit Hilfe von Zugehörigkeitsfunktionen dargestellt, die auf dem Intervall [0, 1] definiert sind. Unscharfe Mengen erweitern die klassischen Mengen, da die Indikatorfunktion der klassischen Menge ein Sonderfall der Zugehörigkeitsfunktionen von unscharfen Mengen sind, die nur die Werte 0 und 1 annehmen. In der Theorie der unscharfen Mengen werden die klassischen, binären Mengen als scharfe Mengen bezeichnet.

Definition

Eine unscharfe Menge ist ein Paar $(M,\mu )$ mit $M$ als Menge und $\mu \colon M\rightarrow [0,1].$

Für jedes $x\in M$ wird der Wert $\mu (x)$ als Grad der Zugehörigkeit von $x$ zur unscharfen Menge $M$ bezeichnet.

For each $x\in U,$ the value $m(x)$ is called the grade of membership of $x$ in $(U,m).$ For a finite set $U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},$ the fuzzy set $(U,m)$ is often denoted by $\{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.$

Let $x\in U.$ Then $x$ is called not included in the fuzzy set $(U,m)$ if $m(x)=0,$ $x$ is called fully included if $m(x)=1,$ and $x$ is called a fuzzy member if $0<m(x)<1.$ The set $\{x\in U\mid m(x)>0\}$ is called the support of $(U,m)$ and the set $\{x\in U\mid m(x)=1\}$ is called its kernel. The function $m$ is called the membership function of the fuzzy set $(U,m).$

Sometimes, more general variants of the notion of fuzzy set are used, with membership functions taking values in a (fixed or variable) algebra or structure $L$ of a given kind; usually it is required that $L$ be at least a poset or lattice. These are usually called L-fuzzy sets, to distinguish them from those valued over the unit interval. The usual membership functions with values in [0, 1] are then called [0, 1]-valued membership functions. These kinds of generalizations were first considered in 1967 by Joseph Goguen, who was a student of Zadeh.

Literatur

• Viertl, Reinhard, Dietmar Hareter: Beschreibung und Analyse unscharfer Informationen. Statistische Methoden für unscharfe Daten, Springer-Verlag, Wien 2006.