Benutzer:Kirby88/Homogenes Evolutionssystem

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Mit dem homogenen Evolutionssystem erhält man eine Klasse von Lösungen, auf der die Theorie der schwachen Lösungen für die homogene Stokes-Gleichung beruht.

Definition

Sei P die Helmholtz-Projektion und $A=-vPA$ der Stokes-Operator. Damit wird das Evolutionssystem erhalten:

$u_{t}+Au=f$ (Evolutionsgleichung)

$u(0)=u_{0}$ (Anfangswert)

Für den homogenen Fall wird f=0 gesetzt.

Lösung

Es wird gezeigt, dass $u(t)=S(t)u_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr=S(t)u_{0}$ mit $S(t)=exp(-tA)$ die Spektralrepräsentation, das homogene Evolutionssystem löst.

$u(0)=S(0)u_{0}=exp(0)u_{0}=u_{0}$

Damit ist die Anfangswertbedingung erfüllt.

$u_{t}+Au=0<=>u_{t}=-Au$

$u_{t}=(exp(-tA)u_{0})'=-Aexp(-tA)u_{0}=-AS(t)u_{0}=-Au$

Damit ist auch die Evolutionsgleichung erfüllt und die Behauptung ist bewiesen.

Weitere Eigenschaften

Sei D aus R^n mit n aus N \{1} und {S(t), t>=0} die Stokes-Untergruppe von D. Dann gilt für $u(t)=S(t)u_{0}$

1. u ist stetig
2. u' existiert und ist stetig
3. $||u(t)||_{2}<=||u'(t)||_{2}$

Inhomogener Fall

Im inhomogenen Fall muss gezeigt werden, dass $u(t)=S(t)u_{0}+\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr$ das Evolutionssystem

$u_{t}+Au=f$

$u(0)=u_{0}$ mit f ungleich 0.

Da der Term $S(t)u_{0}$ schon im homogenen Fall betrachtet worden ist, wird $u_{0}=0$ gesetzt

=> es wird $u(t)=\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr$ betrachtet.

Beweisidee

Offensichtlich ist u(0)=0.

Es muss also nur noch die Evolutionsgleichung $u_{t}+Au=f$ <=> $u_{t}=-Au+f$ überprüft werden. Dazu wird der Integrationsoperator I. $(If)(t)=\textstyle \int _{0}^{t}S(t-r)f(r)dr$ definiert.

Mit dem Satz von Fubini und (S(t-r)w)'=-AS(t-r)w wird erhalten:

$-\textstyle \int _{0}^{T}<u(t),w>p'(t)dt=-\textstyle \int _{0}^{T}\textstyle \int _{0}^{t}<S(t-r)f(r),w>p'(t)drdt$

$=-\textstyle \int _{0}^{T}(\textstyle \int _{r}^{t}<S(t-r)f(r),w>p'(t)dt)dr$

$=-\textstyle \int _{0}^{T}(<S(T-r)f(r),w>p(T)-<f(r),w>p(r)-\textstyle \int _{r}^{t}<(S(t-r)f(r))',w>p(t)dt)dr$

$=\textstyle \int _{0}^{T}<f(r),w>p(r)dr-\textstyle \int _{0}^{T}(\textstyle \int _{r}^{t}<S(t-r)f(r),Aw>p(t)dt)dr$

$=\textstyle \int _{0}^{T}<f(t),w>p(t)dt-\textstyle \int _{0}^{T}(\textstyle \int _{0}^{t}<S(t-r)f(r),Aw>dr)p(t)dt$

$=\textstyle \int _{0}^{T}<f(t),w>p(t)dt-\textstyle \int _{0}^{T}<(If)(t),Aw>p(t)dt$

$=\textstyle \int _{0}^{T}<f(t)-(If)(t),Aw>p(t)dt$

=> $d/dt<u(t),w>=<f(t)-A(If)(t),w>$

=> $u'=f-A(If)=f-Au$

Somit ist die Behauptung bewiesen.

[[Kategorie:Partielle Differentialgleichungen]]