Benutzer:KleinKlio/Trigonometrisches Polynom

Ein trigonometrisches Polynom, auch eine trigonometrische Summe genannt, ist in der reellen Analysis eine endliche, reelle Linearkombination der trigonometrischen Funktionen $x\rightarrow \cos(kx)\;(k\in \mathbb {N} _{0})$ und $x\rightarrow \sin(kx)\;(k\in \mathbb {N} \setminus {0})$, wobei die Linearkombination als Funktion für $x\in \mathbb {R}$ definiert wird. Diese reellwertigen Funktionen lassen auch eine eindeutige (formal) komplexe Darstellung zu, bei der bestimmte komplexe Linearkombinationen aus den Exponentialfunktionen $e^{ikx}\;(k\in \mathbb {Z} )$ an Stelle der Kosinus- und Sinus-Funktionen gebildet werden. Mit dieser Darstellung werden Rechnungen häufig vereinfacht. Die reellen trigonometrischen Polynome sind Partialsummen von reellen Fourierreihen und spielen unter anderem bei der Lösung von gewöhnlichen, linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und für die diskrete Fouriertransformation eine wichtige Rolle.

In der Funktionentheorie, der Funktionalanalysis und in vielen Anwendungen, wie etwa der analytischen Zahlentheorie wird jede beliebige komplexe Linearkombination von Funktionen $x\rightarrow e^{ik\omega x}\;(k\in \mathbb {Z} ,\omega \in \mathbb {R} )$ als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet. Dabei wird deutlich, weshalb diese Funktionen als Polynome bezeichnet werden: Schränkt man den Definitionsbereich eines beliebigen komplexen Polynoms $c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots +c_{n}z^{n}$ auf den komplexen Einheitskreis ein und parametrisiert diesen als Kurve mit einem reellen Parameter $x$ $\left(z=e^{i\omega x},\;(\omega \in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0\rbrace )\right)$, dann wird aus dem gewöhnlichen Polynom das trigonometrische Polynom $c_{0}+c_{1}e^{i\omega x}+c_{2}e^{2i\omega x}+\cdots +c_{n}e^{ni\omega x}$. Bei komplexen trigonometrischen Polynomen treten im allgemeinen auch Terme mit negativem Index $k$ auf. Sie entstehen also genau genommen durch die genannte Parametrisierung aus Laurentreihen, die nur endlich viele nichtverschwindende Koeffizienten haben.

Definitionen

Reelles trigonometrisches Polynom

Als reelles trigonometrisches Polynom wird die für $x\in \mathbb {R}$ definierte, reellwertige Funktion

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx))$

bezeichnet, wobei $a_{k},b_{k}\in \mathbb {R}$ ist. Die natürliche Zahl $n$ bezeichnet man als den Grad von $f$. Die Funktion $f$ hat die Periode $2\pi$.

Beliebige Periode

Ein reelles trigonometrisches Polynom kann etwas allgemeiner auch so definiert werden, dass die Periode des Polynoms eine beliebige, positive, reelle Zahl $T$ ist. Setzt man $\omega ={\frac {2\pi }{T}}$, dann lauten die Polynome:

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{n}(a_{k}\cos(k\omega x)+b_{k}\sin(k\omega x)),$

für die übrigen Parameter gelten die gleichen Voraussetzungen wie im Falle $T=2\pi ,\omega =1$

Komplexe Darstellung

Die komplexe Darstellung des reellen trigonometrischen Polynoms lautet:

$f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ikx}$ im Fall $\omega =1$ bzw. $f(x)=\sum _{k=-n}^{k=n}c_{k}e^{ik\omega x}$ im Fall einer beliebigen Periode.

Dabei gilt $c_{0}={\frac {a_{0}}{2}},c_{k}={\frac {(a_{k}-ib_{k})}{2}},c_{-k}={\frac {(a_{k}+ib_{k})}{2}}$ und umgekehrt lässt sich $a_{k}=2\cdot \operatorname {Re} (c_{k})=2\cdot \operatorname {Re} (c_{-k})$ durch den Realteil der komplexen Darstellung und $b_{k}=2\cdot \operatorname {Im} (c_{k})=-2\cdot \operatorname {Im} (c_{-k})$ durch ihren Imaginärteil darstellen. Das trigonometrische Polynom ist genau dann reell, wenn $c_{k}={\overline {c_{-k}}}$ gilt.

komplexe trigonometrische Summen

Ist $c_{k},k\in \mathbb {Z}$ eine Familie von komplexen Koeffizienten, die für alle bis auf endlich viele Indizes $k\in \mathbb {Z}$ verschwinden, dann wird die Summe

$f(x)=\sum _{K\in \mathbb {Z} }c_{k}e^{ik\omega x}$ als komplexes trigonometrisches Polynom oder komplexe trigonometrische Summe bezeichnet.

In aller Regel ist die unabhängige Variable $x$ in dieser Summe nach wie vor eine reelle Zahl und die Summe stellt eine Funktion $f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {C}$ dar.

Eigenschaften

Orthogonalität

Die trigonometrischen Funktionen, aus denen die reellen trigonometrischen Polynome durch Linearkombination entstehen, erfüllen folgende Orthogonalitätsrelationen $\left(k,l\in \mathbb {N} _{0}\right)$:

1. $\int _{0}^{T}\cos(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx=0$,
2. $\int _{0}^{T}\cos(k\omega x)\cdot \cos(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{T}}\quad (k=l)\end{cases}}$
3. $\int _{0}^{T}\sin(k\omega x)\cdot \sin(l\omega x)\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {\pi }{T}}\quad (k=l).\end{cases}}$

Für die komplexen Erzeugenden lautet die Orthogonalitätsrelation:

$\int _{0}^{T}e^{ik\omega x}\cdot e^{-il\omega x}\,dx={\begin{cases}0\quad (k\neq l)\\{\frac {2\pi }{T}}\quad (k=l).\end{cases}}$

Basiseigenschaft

Aus den Orthogonalitätsrelationen folgt, dass die Folge der erzeugenden trigonometrischen Funktionen ${\mathcal {B}}=\left((\cos(k\omega x)),(\sin(l\omega x))\right)_{k\in \mathbb {N} _{0};l\in \mathbb {N} \setminus \lbrace 0\rbrace }$ linear unabhängig ist und bei geeigneter Normierung eine Orthonormalbasis eines Hilbertraumes bildet. Dieser Hilbertraum ist der Lebesgue-Raum $L^{2}[0;T]$.

Die Familie der Erzeugenden ${\mathcal {C}}=\left(e^{ikx}\right)_{k\in \mathbb {Z} }$ der komplexen trigonometrischen Funktionen bildet bei geeigneter Normierung eine Orthonormalbasis des komplexen Hilbertraumes $L^{2}(\mathbb {S} ^{1})$ der auf dem Einheitskreis definierten, komplexwertigen $L^{2}$-Funktionen.

Anwendungen

In der analytischen Zahlentheorie werden bestimmte trigonometrische Summen als lösungszählende Funktionen verwendet. Diese Anwendung beruht auf der Orthogonalitätsrelation. Für eine übersichtliche Darstellung wird in der Zahlentheorie abkürzend

$e(x)=e^{2\pi ix}$ geschrieben und die Funktion $e$ wird als zahlentheoretische Exponentialfunktion bezeichnet.

Die Orthogonalitätsrelation lautet, wenn man sie mit der zahlentheoretischen Exponentialfunktion formuliert:

$\int _{0}^{1}e(Rx)\,dx={\begin{cases}0\quad (R\in \mathbb {Z} \setminus \lbrace 0\rbrace )\\1\quad (R=0).\end{cases}}$

Nun wird an die Stelle von $R$ der Funktionsterm $g$ einer diophantischen Gleichung $g(t_{1},t_{2},\ldots t_{N})=0$ gesetzt. Dann kann man die Anzahl $L$ der Lösungen der Gleichung in einer festgelegten endlichen Menge $M$ – etwa den $N$-Tupeln von natürlichen Zahlen unterhalb einer festgelegten Schranke – durch ein Integral darstellen:

$L=\#\lbrace (t_{1},t_{2},\ldots t_{N})\in M|g(t_{1},t_{2},\ldots t_{N})=0\rbrace =\sum _{(t_{1},t_{2},\ldots t_{N})\in M}\int _{0}^{1}e(g(t_{1},t_{2},\ldots t_{N})\cdot x)\,dx.$

Da die Summe endlich ist, kann sie problemlos mit dem Integral vertauscht werden und man erhält

$L=\int _{0}^{1}\sum _{(t_{1},t_{2},\ldots t_{N})\in M}e(g(t_{1},t_{2},\ldots t_{N})\cdot x)\,dx,$

also eine Darstellung der Lösungsanzahl als Integral über ein trigonometrisches Polynom. Auf dieses lösungszählende Integral können nun alle Methoden der Funktionentheorie angewandt werden. Damit kann für die Lösungsanzahl $L=L(M)$ zum Beispiel eine asymptotische Formel abgeleitet werden, die angibt, wie sich die Lösungsanzahl verhält, wenn die Schranken von $M$ gegen Unendlich streben.

Siehe auch

• Fourierreihe
• Trigonometrische Interpolation

Literatur

• Christian Blatter: Analysis, Band 3. Springer, Berlin, Heidelberg, New York. 
• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 1995, ISBN 3-540-57721-3(?!). 
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis. 14. Auflage. Vieweg und Teubner, Stuttgart 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8. 
• Harro Heuser: Funktionalanalysis. 3. Auflage. Teubner, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22206-X.