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Gammafunktion Näherung

Für physikalische und technische Anwendungen der Gammafunktion (bezw. ihres Logarithmus) sind Näherungen oft ausreichend, insbesondere die von der Dresdener Schule (P.E.Böhmer) entwickelten. Für die Gammafunktion (Aretin 1931, Nielsen 1965 S.3, Königsberger 2003) gilt die Funktional-Gleichung

                                                                                                         (1)

die eine Art Periodizität bedeutet, was als Hilfe zur Berechnung benutzt werden kann. Teilt man nämlich die komplexe z-Ebene senkrecht zur reellen Achse in Streifen der Breite 1 ein, so verknüpft Gl.(1) die Funktions-Werte Gamma(z+1) in einem gegebenen Streifen mit denen bei z im nächst-niedrigen Nachbarstreifen. Geht man zum Logarithmus über so folgt aus Gl.(1)

                                                                                                          (2)

Ist für (z+1) (Re(z)>0) der Funktionswert bekannt, so gibt Gl.(2) also den bei z. Die Prozedur kann wiederholt ausgeführt werden (Böhmer 1939 S.8) und zwar in einem einzigen Rechengang. Für den Funktionswert ln(Gamma) bei Re(z)>>0 gibt es gute Näherungen. Rocktäschel (1922 S.14) empfiehlt unter Bezug auf Gauss die Funktion

                                                                                                          (3)

Sie weist zwar im Nahbereich bei z = (1/2,0) eine Irregularität auf, ist aber schon bei Re(z) = 10 recht gut. Benutzt man diese Näherung bei (z+m) (m integer, positiv) und wendet Gl.(2) m-fach an so folgt

                                                                                                          (4)

Die Summe muss komplex berechnet werden. Formeln dafür existieren.

Ein Vergleich mit von Böhmer (1939) berechneten reelen Funktionswerten zeigte mit m = 50 Abweichungen erst in der dritten Dezimale. m = 100 sollte fast immer ausreichen.

Literatur

Emil Aretin: Einführung in die Theorie der gammafunktion. Teubner,Leipzig 1931 [nur in Bibliotheken erhältlich]. Paul Eugen Böhmer: Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. K.F.Koehler,Leipzig 1939. Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Heidelberg 2003,ISBN 33-540-4037 1--X. Ni els Nielsen: Die Gammafunktion. Chelsea Publ.Comp., Bronx N.Y. 1965 [Nachdruck des 1906 in Leipzig erschienenen, fundamentalen Werkes]. Otto Rudolf Rocktäschel: Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexe Argumente. Dissertation, Dresden 1922 [nur in dieser Bibliothek einsehbar].