Benutzer:Kondephy/Boltzmann-Matano-Analyse

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Die Boltzmann-Matano-Analyse (nach den Physikern Ludwig Boltzmann und Chujiro Matano) ist eine Methode der Experimentalphysik um die experimentell nicht direkt zugängliche Interdiffusionskonstante aus der Analyse von Konzentrationsprofilen zu berechnen, die leichter zu messen sind. Die Methode basiert auf einer Boltzmann-Transformation mit deren Hilfe das zweite Ficksche Gesetz (eine partielle Differentialgleichung) in eine gewöhnliche Differentialgleichung überführt wird. Matanos Beitrag besteht in der Formulierung passender Randbedingungen.

Boltzmann-Transformation

Die Diffusionsgleichung für eine im Allgemeinen von der Konzentration $C$ abhängige Interdiffusionkonstante ${\tilde {D}}$ lautet:

${\frac {\partial C}{\partial t}}={\vec {\nabla }}\left({\tilde {D}}(C){\vec {\nabla }}C\right)$

Im Folgenden wird der Einfachheit wegen nur der eindimensionale Fall betrachtet, sodass der Nabla-Operator durch eine partielle Ableitung nach der Ortsvariablen $x$ ersetzt wird.

${\frac {\partial C}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\tilde {D}}(C){\frac {\partial C}{\partial x}}\right)$

Nun führt man eine neue Variable $\xi$ ein, die wie folgt definiert wird, wobei $x_{\mathrm {M} }$ die Position der später erläuterte Matano-Ebene bezeichnet.

$\xi \equiv {\frac {x-x_{\mathrm {M} }}{2{\sqrt {t}}}}$

So lässt sich die obige Diffusionsgleichung in eine gewöhnliche Differentialgleichung in $\xi$ überführen. (Der englischsprachige Artikel enthält eine ausführliche Herleitung.)

$-2\xi {\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} \xi }}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \xi }}\left({\tilde {D}}(C){\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} \xi }}\right)$

Boltzmann-Matano-Methode

Matano nahm zur Berechnung zwei unendlich ausgedehnte Blöcke verschiedenen Materials an, die zum Zeitpunkt $t=0$ an der Stelle $x=0$ zusammengebracht werden, sodass die Interdiffusion beginnt. An den Enden der beiden Blöcke, die sich nicht berühren (bei $x=\pm \infty$) seien die Konzentrationen jeweils zeitlich und räumlich konstant ($C_{L}$ am linken und $C_{R}$ am rechten Ende).

Die obige gewöhnliche Differentialgleichung wird nun vom linken Ende ($\xi =C_{L}$) bis zu einer fixen aber unbestimmten Konzentration $C^{*}$ integriert:

$\int _{C_{L}}^{C^{*}}-2\xi {\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} \xi }}\mathrm {d} \xi =\int _{C_{L}}^{C^{*}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \xi }}\left({\tilde {D}}(C){\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} \xi }}\right)\mathrm {d} \xi$

Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt mit im Unendlichen verschwindenden Konzentrationsgradienten:

${\tilde {D}}(C)=-2{\frac {\int _{C_{L}}^{C^{*}}\xi \mathrm {d} C}{\left({\frac {d\mathrm {C} }{\mathrm {d} \xi }}\right){\bigg |}_{C*}}}$

Transformiert man diese Gleichung zurück $\xi \rightarrow (x,t)$ erhält man

${\tilde {D}}(C)=-{\frac {1}{2t}}{\frac {\int _{C_{L}}^{C^{*}}\left(x-x_{M}\right)\mathrm {d} C}{\left({\frac {\mathrm {d} C}{\mathrm {d} x}}\right){\bigg |}_{x=C^{*}}}}$

noch zu erledige

• `eine Grafik ERSTELLEN, die den "mathematischen" Prozess veranschaulich und die Bedeutung der Matano-Ebene anschaulich klar macht