Benutzer:Lt-Kofi/Spielwiese

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Voraussetzung

Seien K ein Körper und V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt linear, wenn für und gilt

Ist f aus (der Körper wird also als Vektorraum über sich selber aufgefasst), so kann man eine Eigenschaft weglassen, es gilt dann nämlich 2 1, wie im folgenden gezeigt:

Ist , so sind beide Eigenschaften äquivalent, also 12, denn es gilt zusätzlich mit natürlichen Zahlen a, b:

und

Die Aufgabe

Die zweite Eigenschaft ist also eventuell "mächtiger" als die erste. Die Frage ist: Stimmt das?

Finde eine Funktion mit aber für mindestens ein paar Zahlen oder zeige, dass eine solche Funktion nicht existiert, dass also für alle reellwertigen Funktionen gilt .

Lösung

In ist Additivität nicht äquivalent mit Homogenität. Als Beweis geben wir ein Gegenbeispiel.

Sei . ist ein Teilraum des -Vektorraums . Sei . Aus wird durch

eine lineare Abbildung definiert.

Da ein Teilraum ist, lässt sich zu einer Basis von ergänzen (die natürlich weder endlich noch abzählbar ist). Sei die lineare Abbildung gegeben durch

ist linear (und insbesondere homogen) über . Es gilt aber

Die Funktion ist also über nicht homogen.

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