Voraussetzung
Seien K ein Körper und V, W K-Vektorräume. Eine Abbildung heißt linear, wenn für und gilt
Ist f aus (der Körper wird also als Vektorraum über sich selber aufgefasst), so kann man eine Eigenschaft weglassen, es gilt dann nämlich 2 1, wie im folgenden gezeigt:
Ist , so sind beide Eigenschaften äquivalent, also 12, denn es gilt zusätzlich mit natürlichen Zahlen a, b:
und
Die Aufgabe
Die zweite Eigenschaft ist also eventuell "mächtiger" als die erste. Die Frage ist: Stimmt das?
Finde eine Funktion mit aber für mindestens ein paar Zahlen oder zeige, dass eine solche Funktion nicht existiert, dass also für alle reellwertigen Funktionen gilt .
Lösung
In ist Additivität nicht äquivalent mit Homogenität. Als Beweis geben wir ein Gegenbeispiel.
Sei . ist ein Teilraum des -Vektorraums . Sei . Aus wird durch
eine lineare Abbildung definiert.
Da ein Teilraum ist, lässt sich zu einer Basis von ergänzen (die natürlich weder endlich noch abzählbar ist). Sei die lineare Abbildung gegeben durch
ist linear (und insbesondere homogen) über . Es gilt aber
Die Funktion ist also über nicht homogen.
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