Benutzer:Magolijo/Amplituden Gleichungen

Dieser Artikel ist im Entstehen und noch nicht Bestandteil der freien Enzyklopädie Wikipedia.

Solltest du über eine Suchmaschine darauf gestoVorlage:SSen sein, bedenke, dass der Text noch unvollständig sein und Fehler oder ungeprüfte Aussagen enthalten kann. Wenn du Fragen zum Thema hast, nimm Kontakt mit dem Autor Magolijo auf.

Amplituden Gleichungen beschreiben die Dynamik eines musterbildenden Prozesses beim schwachen Überschreiten der Schwelle die zum Einsetzen des Musters führt. In diesem Regime sind die Nichtlinearitäten der Dynamik schwach, wodurch die zeitliche und räumliche Variation des Grundmusters langsam wird. Die Theorie besitzt einige Ähnlichkeiten mit der Landau-Theorie.

Allgemeines

Amplituden Gleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung von einem Muster, welches durch den Ansatz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_1(\boldsymbol{x},t)=\sum_{j} A_j(t) e^{i \boldsymbol{k_j}\boldsymbol{x}}}

gegeben ist. Die zeitliche Dynamik der Amplituden nahe der Entstehung des Musters kann durch Symmetrien eingeschränkt werden und liefert typischerweise simplere Dynamiken die durch gewöhnliche Differentialgleichungen gegeben sind

$\partial _{t}A_{i}(t)=A_{i}(t)+A_{i}(t)\sum _{j,l}g_{ijl}A_{j}(t)A_{l}(t)$

Lineare Stabilität von musterbildenden Prozessen

Die Dynamik von musterbildenen Prozessen wird häufig durch eine nichtlineare partielle Differentialgleichung beschrieben. Für ein zweidimensionales Feld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(\boldsymbol{x},t)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{x}\in\mathbb{R}^2} kann die zeitliche Änderung des Feldes durch die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t z= \hat{L}[z]+\hat{N}[z]}

beschrieben werden, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{L}} einen linearen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{N}} einen nichtlinearen Operator kennzeichnet. Es wird angenommen, dass die Gleichung einen trivialen uniformen Fixpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(\boldsymbol{x},t)=0} besitzt. Die zeitliche Entwicklung einer Perturbation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(\boldsymbol{x},t)=u_0 e^{i \boldsymbol{k}\boldsymbol{x}+\lambda(\boldsymbol{k}) t}}

des trivialen Fixpunktes ist im linearen Regime durch das Eigenspektrum des linearen Operators gegeben

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \lambda ({\boldsymbol {k}})u({\boldsymbol {x}},t)={\hat {L}}[u({\boldsymbol {x}},t)]} .

Für einen musterbildenden Prozess kann ein Kontrollparameter $r$ definiert werden, sodass drei Parameterbereiche unterschieden werden können:

• $r<0$ der triviale Fixpunkt ist stabil, d.h. das Eigenspektrum des linearen Operators ist negativ definit $\Re \lambda ({\boldsymbol {k}})<0$
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r>0} der triviale Fixpunkt ist instabil, d.h. das Eigenspektrum des linearen Operators ist für mehrere Wellenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{k}^*} positiv $\Re \lambda ({\boldsymbol {k}}^{*})>0$
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=0} bezeichnet die Schwelle zur Erscheinung eines Musters, d.h. das Eigenspektrum des linearen Operators ist für einge Wellenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{k}'} positiv Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Re\lambda(\boldsymbol{k}')=0}

Der häufigste Typ einer linearer Instabilität in musterbildenden Prozessen ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{k_c}\neq 0} , welcher als zeitlich stationär (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Im\lambda(\boldsymbol{k_c})=0} ) und oszillatorisch (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Im\lambda(\boldsymbol{k_c})\neq 0} ) existiert. Typische lineare Operatoren mit einer solchen Instabilität sind der Swift-Hohenberg Operator und die räumliche Faltung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} mit einem DoG.

Schwache nichtlineare Analyse

In der schwachen nichtlinearen Analyse wird die Annahme getroffen, dass der Kontrollparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} und die Perturbation des trivialen Fixpunktes klein sind. Daher werden beide Größen um eine kleinen Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} entwickelt

${\begin{aligned}r=&\epsilon r_{1}+\epsilon ^{2}r_{2}+\ldots \\u=&\epsilon u_{1}+\epsilon ^{2}u_{2}+\epsilon ^{3}u_{3}+\ldots \end{aligned}}$

Da die zu erwartende zeitliche Änderung der Perturbation langsam ist, wird die reskalierte Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=\epsilon^2 t} eingeführt. Das Einsetzen des Multiskalen Ansatzes in die Felddynamik mit einem kubischen Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{N}[z]=\hat{C}[z,z,z]} und anschließendes sortieren führen zu der Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0=\epsilon \hat{L}_0u_1+\epsilon^2 \left(\hat{L}_0u_2+r_1u_1\right)+\epsilon^3\left (\hat{L}_0u_3-\partial_Tu_1+r_1u_2+r_2u_1+\hat{C}[u_1,u_1,u_1]\right)} ,

wobei angenommen wurde, dass der lineare Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{L}_0=\hat{L}-r} unabhängig vom Kontrollparameter ist. Nun muss jede Ordnung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} verschwinden, welches in linearer Ordnung dazu führt, dass die perturbative Lösung durch eine Superposition von ebenden Wellen gegeben ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_1(\boldsymbol{x},t)=\sum_{\lambda(\boldsymbol{k_i})=0} A(t) e^{i \boldsymbol{k_i}\boldsymbol{x}}} .