Benutzer:Marco.Bakera/Uni/Fuzzy3

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3.2

a)

Für $F(x)={\frac {1}{2}}$ gilt:

$(F\cup {\overline {F}})(x)=_{def}\min(F(x),1-F(x))=\min({\frac {1}{2}},1-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}\neq 1=U$

$(F\cap {\overline {F}})(x)=_{def}\max(F(x),1-F(x))=\max({\frac {1}{2}},1-{\frac {1}{2}})={\frac {1}{2}}\neq 0=\emptyset$

b)

$(F\cup {\overline {F}})(x)=_{def}\max(F(x),1-F(x))$

Angenommen $F(x)<{\frac {1}{2}}$. Dann folgt:

$-F(x)>-{\frac {1}{2}}$
$1-F(x)>1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

$\Rightarrow \max(F(x),1-F(x))<{\frac {1}{2}}$

Angenommen $F(x)\geq {\frac {1}{2}}$. Dann folgt:

$-F(x)\leq -{\frac {1}{2}}$
$1-F(x)\leq 1-{\frac {1}{2}}={\frac {1}{2}}$

$\Rightarrow \max(F(x),1-F(x))\geq {\frac {1}{2}}$

Insgesamt folgt damit die Behauptung.

Mit Ersetzung von $\min$ durch $\max$ und Umkehrung der Relationszeichen erhät man ebenso (D).

c)

Es gilt ${\overline {F\cup G}}={\overline {F}}\cap {\overline {G}}$, da $\forall x\in U$ gilt:

${\overline {F\cup G}}(x)=(1-(F\cup G))(x)=1-\max(F(x),G(x)$

Aus der Dualität von min und max folgt dann

$1-\max(F(x),G(x))=1-(1-\min(1-F(x),1-G(x))=\min({\overline {F(x)}},{\overline {G(x)}})=({\overline {F}}\cap {\overline {G}})(x)$

und damit die Behauptung. Analog folgt (F).

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