Benutzer:Markus Prokott/Bewertungsfunktion (Mathematik)

Eine Bewertungsfunktion auf einer Menge $X$ oder kurz Bewertung der Menge $X$ ist in der Mathematik eine Abbildung, die jedem Element einer beliebigen Menge $X$ ein nicht-negatives Element eines angeordneten Körpers $K$ zuordnet. Formal ausgedrückt heißt das: Eine Bewertung $B$ ist eine Abbildung

$B:X\rightarrow K_{0}^{+},$

wobei K ein angeordneter Körper und $K_{0}^{+}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\{a\in K\mid a\geq 0\}$ ist. Häufig treten Bewertungen auch in der Form

$B:X\rightarrow M$

auf, wobei nicht näher erläutert ist, dass $M\subset K_{0}^{+}$ gilt.

Beispiele

• Alle Normen sind Bewertungen des durch sie normierten Raumes
• Gradfunktionen in euklidischen Ringen sind Bewertungen des entsprechenden euklidischen Ringes
• Positiv-definite Bilinearformen zweier $K$-Vektorräume $V$ und $W$ mit angeordnetem Körper $K$ sind Bewertungen der Menge $V\times W$

Anwendungen

Der Begriff der Bewertung wird in der Literatur eigentlich nie in dieser Allgemeinheit verwendet. Wenn überhaupt, wird er in der allgemeinen Form nur einleitend verwendet und dann gleich als spezielle Variante einer Bewertungsfunktion mit zusätzlichen, dem Kontext entsprechenden Eigenschaften näher definiert. Im Folgenden werden einige dieser Varianten ausgeführt.

Bewertung eines Körpers

Eine Bewertung eines Körpers ist eine Bewertung zusammen mit den folgenden Eigenschaften: