Benutzer:Mathelerner/Spielwiese

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Entwurf zum Kapitel Wikibook:Mathe für Nicht-Freaks / Epsilon-Delta-Definition der Stetigkeit

Warum ist die anschauliche "Wackeldefinition" äquivalent zur Epsilon-Delta-Definition?

Wir nehmen die Intuition des letzten Absatzes. Stell Dir vor, wir haben zu einem $\epsilon '$ ein $\delta '$ gefunden, für das die Implikation gilt. Dann nehmen wir mal ein richtig großes $\epsilon$. Weiterhin setzen wir $\delta :=\delta '$. Dann gilt die Implikation auch für $\epsilon$ und $\delta$. Also muss man sich intuitiv "nur" um sehr kleine Epsilon-Werte sorgen.

Anschaulich betrachtet: Wenn man beliebig zart an einer x-Stelle wackeln kann, wackelt auch der y-Wert beliebig wenig. Anders formuliert: Zu jedem noch so kleinen Funktionswert-Wackler findet man einen Eingabewackler, sodass der Funktionswertwackler rauskommt.

Anschaulich betrachtet: Wenn man, um höchstens ein bisschen am Funktionswert wackelt und dann weiß, dass auch der $x$-Wert auch nur ein bisschen wackelt, ist natürlich klar, dass auch, wenn man maximal ein bisschen mehr am Funktionswert wackelt, das herausgefundene Wackeln des Argumentwertes die Stetigkeit erfüllt.

Beweis der Eindeutigkeit der Universellen Eigenschaft -- Konzept

Einleitung

Seien $A$ und $B$ Objekte. Dann ist die allgemeine Eigenschaft: Es gibt ein geordnetes Paar $(U,\tau )$ aus einem Objekt $U$ und einem Morphismus $\tau$, sodass $\tau$ jedem Morphismus $\varphi$ zwischen $A$ und $B$ einen eindeutig bestimmten induzierten Morphismus ${\widetilde {\varphi }}$ zuordnet, sodass gilt: $\tau \circ {\widetilde {\varphi }}=\varphi$.

Beweis der Eindeutigkeit -- Allgemeines Konzept

Seien $A,B,U$ und $\tau$ wie in der Einleitung, $\Phi$ beliebig. Grundlegend geht man jetzt von einem zweiten geordneten Paar $(U',\tau ')$ aus, das dieselbe universelle Eigenschaft hat. Dann zeigt das folgende kommutative Diagramm die Eindeutigkeit: Dabei wird zum Beweis der Gleichheit die Isomorphie von tau gezeigt.

U <=> (tau, tau') U'

´` ´`

|| phi || phischlange

B

Bewiesen wird (tau' circ tau) circ phi = phi, also die Rechtskürzbarkeit von tau' circ tau, das damit gleich id_U ist. Allgemein wird die Isomorphie über die Rechtskürzbarkeit von tau' circ tau und tau circ tau' gezeigt. Dazu werden als Abbildungen nur die generierten genommen.

Ich kenne mich leider zu wenig mit Kategorientheorie aus, um den vollen Beweis mit korrekter Verwendung der Begriffe führen zu können.${\displaystyle }$