Benutzer:McTheSpoon/Goldener Schnitt

Goldener Schnitt

Meine erste Aktivität bei Wikipedia, bzw. der Grund, mich jetzt doch anzumelden, vorgenommen hatte ich mir das schon länger, war diese Herleitung (Achtung, alte Version) der Goldenen Zahl (aktuelle Version):

„Aus der oben angegebenen Definition

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=1+{\frac {b}{a}}$

bzw.

${\frac {a}{b}}-1-{\frac {b}{a}}=0$

folgt mit $\Phi ={\frac {a}{b}}$   und   ${1 \over \Phi }={\frac {b}{a}}$

$\Phi -1-{1 \over \Phi }=0\,.$

Multiplikation mit $\Phi$ ergibt die quadratische Gleichung

$\Phi ^{2}-\Phi -1=0\,.$“

Die Definition der Goldenen Zahl beruht IMHO auf zwei Gleichungen, $\Phi ={\tfrac {a}{b}}$ und $\Phi ={\tfrac {a+b}{a}}$, also ging meine Änderung dahin, erst mal diese zwei Gleichungen zu nennen und mathematisch sowie didaktisch sauber zu lösen.

„Aus der oben angegebenen Definition ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten

$\Phi ={\frac {a}{b}}$  und  $\Phi ={\frac {a+b}{a}}.$

Die zweite Gleichung wird nach ${\tfrac {a}{b}}$ umgestellt

${\frac {1}{\Phi -1}}={\frac {a}{b}}$

und nach Gleichsetzung

${\frac {1}{\Phi -1}}=\Phi$

ergibt sich die quadratische Gleichung

$\Phi ^{2}-\Phi -1=0.$“

Wobei lineares Gleichungssystem natürlich falsch ist, es handelt sich vielmehr um ein nichtlineares Gleichungssystem, diesen Fehler habe ich im Lauf der Diskussion korrigiert.

Als erstes habe ich natürlich artig in der Diskussion angefragt, ob es Einwände gegen diese Änderung gibt. Als keine Antwort kam, habe ich die Änderung eingearbeitet. Was jetzt anhub, hätte ich mir in den kühnsten Träumen nicht vorstellen können, man kann es in der archivierten Diskussion und der Versionshistorie nachlesen.

Goldener Schnitt, Graphen von $\color {Blue}\Phi ={\tfrac {a}{b}}$ und $\color {Red}\Phi ={\tfrac {a+b}{a}}$
im Bereich a von -1,2 bis 2,4 bei b=1

Im Lauf der Diskussion hab ich eine Grafik gebastelt, die schön die zwei Graphen der Ausgangsformel und ihre Schnittpunkte zeigt. Da wurde mir der blöde Fehler, linear statt nichtlinear, klar. Der Vorwurf blieb, das ist nur eine Gleichung und nichtlineares Gleichungssystem ist viel zu kompliziert für diesen Fall.

Nach vielem Hin- und her, u.a. mit dem Vorwurf, das ist viel zu ausführlich, nachdem ich versucht hatte, alles besser zu erklären, war mein letzter Vorschlag:

„Die in der Einleitung angegebene Definition kann auch zweigeteilt dargestellt werden

$\Phi ={\frac {a}{b}}\quad \mid \quad \Phi ={\frac {a+b}{a}}.$

Sie lässt sich z.B. jeweils nach ${\tfrac {b}{a}}$ umstellen, gleichsetzen und ergibt die quadratische Gleichung

${\frac {1}{\Phi }}=\Phi -1\quad \to \quad \Phi ^{2}-\Phi -1=0.$“

Ähnelt dem ersten Vorschlag wieder sehr, aber ich hatte inzwischen die Erfahrung gemacht, daß Vergessen und Ignoranz direkt proportional verlaufen. Selbstverständlich wurde das wieder kommentarlos zurückgesetzt.

Aktuell steht dort wieder:

„Die in der Einleitung angegebene Definition

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}$

lautet mit aufgelöster rechter Seite und nach Umstellung

${\frac {a}{b}}-1-{\frac {b}{a}}=0$

beziehungsweise mit   ${\frac {a}{b}}=\Phi$   wie folgt:

$\Phi -1-{\frac {1}{\Phi }}=0\,.$

Multiplikation mit   $\Phi$   ergibt die quadratische Gleichung

$\Phi ^{2}-\Phi -1=0$“

Ähnelt auch verdammt der Ausgangsform, nur etwas vereinfacht. Die hier haben das besser gelöst.

So, ich setz das mal auf ToDo, ich werde sicher keine Änderung mehr anstoßen, aber vielleicht beginnt ja irgendwann eine entsprechende Diskussion und das ist noch mal zu was nütze.

Es gibt sicher noch mehr Stellen im Artikel, die überarbeitet werden sollten, aber ganz sicher nicht durch mich, zur Zeit.

McTheSpoon ✉