Benutzer:Meier99/Lineare Antwortfunktion

Eine lineare Antwortfunktion beschreibt den Zusammenhang („Vermittlung“) zwischen einer „Ursache“ und der durch sie hervorrufenen „Wirkung“ in mathematischer Form. Dieser Zusammenhang ist sehr allgemein und gilt z. B. bei der Signalübertragung oder der Umwandlung elektromagnetischer Wellen in Radiomusik oder Fernsehbilder bzw. Video-Signale. Die betroffenen Fachwisssenschaften sind die Informatik, alle Natur- und Ingenieurwissenschaften: In den jeweiligen Wissenschaften existieren alternative Namen für jeweils mathematisch ein-und-dieselbe „Vermittlungsfunktion“: z. B. magnetische Suszeptibilität in der Elektrodynamik; Greensche Funktionen in Mathematik und Physik; Impedanz in der Elektrizitätslehre, usw.

Mathematische Definition

• Der „Input“ („die Ursache“) eines Systems sei mathematisch durch die Funktion $h(t)$ beschrieben, z. B. eine Kraftkomponente oder eine sonstige physikalische Größe.
• Der „Response“ des betrachteten Systems („die Antwort“ bzw. „die Wirkung“) sei die Größe $x(t)$ (z. B. eine neue Ortsfunktion). Der Wert dieser Größe wird im Allgemeinen nicht nur vom gegenwärtigen Wert der Größe $h(t)$ abhängen, sondern auch von früheren Werten. Aus Kausalitätsgründen muss aber t kleiner sein als der Endpunkt t der Beeinflussung, weil die Ursache der Wirkung vorangehen muss. $x(t)$ ist daher eine gewichtete Summe aller früherem Werte der Größe $h(t')$, mit Gewichtsfaktoren, die durch die Intervallgröße dt und durch eine Responsefunktion$\chi (t-t')$ gegeben ist:

$x(t)=\int _{-\infty }^{t}dt'\,\chi (t-t')\,h(t')\,+\dots$

Dabei wurde die lineare Näherung benutzt, was durch die drei Punkte angedeutet ist, d. h., dass höhere Potenzen von h(t') vernachlässigt wurden.

Die Form der „Responsefunktion“ $\chi (t-t')$ wird an dieser Stelle nicht benötigt. Wichtig ist nur noch, dass wegen der Homogenität der Variablen Zeit die Antwortfunktionen nicht separat von t und t' abhängen, sondern nur von der Differenz t-t' .

Wenn man über die linare Näherung hinausgehen muss, erhält man stattdessen eine sog. Volterra-Reihe für den vollen nichtlinearen Response.

Die Fourier-Transformierte ${\tilde {\chi }}(\omega )$ der Linearen-Response-Funktion ist sehr nützlich: Sie beschreibt den „Output“ des Systems für den Fall, dass der Input eine Sinus-Welle ist, $h(t)=h_{0}\cdot \sin(\omega t),$ mit Frequenz $\omega :$

$x(t)=|{\tilde {\chi }}(\omega )|\cdot h_{0}\cdot \sin(\omega t+\alpha (\omega ))\,,$

mit dem Verstärkungsfaktor $|{\tilde {\chi }}(\omega )|$ und der Phasenverschiebung $\alpha (\omega ).$.

Beispiel

Für ein schwach gedämpftes angetriebenes Schwingungsystem, den gedämpften harmonischer Oszillator, mit einem Input $h(t)\cdot (\cos(i\omega t)+i\sin(i\omega t)),$ (wobei die imaginär-komplexwertige Einheit i nur zur mathematischen Vereinfachung eingeführt wird) erhält man:

${\ddot {x}}(t)+\gamma {\dot {x}}(t)+\omega _{0}^{2}x(t)=h(t).\,$

Die Fourier-Transformierte der Linearen-Response-Funktion ist:

${\tilde {\chi }}(\omega )={\frac {{\tilde {x}}(\omega )}{{\tilde {h}}(\omega )}}={\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}+i\gamma \omega }}.\,$

Daraus ergibt sich bei genauer Analyse, dass die Fourier-Transformierte ${\tilde {\chi }}(\omega )$ i. a. ein sehr scharfes Maximum bei der Frequenz$\omega \approx \omega _{0}$.

Dabei ist die Lineare-Response-Funktion eines harmonischen Oszillators mathematisch identisch zu der eines seriellen elektrischen RLC-Schwingkreises .

Ergänzung

• Im Kontext der Quantenstatistik stammt eine grundlegende Beziehung zur Linearen-Response-Theorie, die sog. Kubo-Formel, von dem Japaner

Ryogo Kubo.

Siehe auch

• Faltung

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