Benutzer:MichaelK/Hilberts Liste von 23 mathematischen Problemen

Die Probleme

An den Beginn seiner Liste stellte Hilbert Fragen der axiomatischen Mengenlehre und andere axiomatische Überlegungen. In seinen Augen war es besonders wichtig, dass sich die mathematische Gemeinschaft Klarheit über die Fundamente der Mathematik verschafft, um tiefer gehende Aussagen besser verstehen zu können. Es folgen einige Fragen der Zahlentheorie, die durch algebraische Themen und schließlich durch Probleme aus der Funktionentheorie ergänzt werden. Im Folgenden sind Probleme, die weitgehend gelöst sind, grün hinterlegt und solche, die noch ungelöst sind, rot.

Hilberts erstes Problem

Fragestellung: Gibt es eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit echt kleiner ist als die reellen Zahlen? Lösung: Unentscheidbar im klassischen Axiomensystem.

Hauptartikel: Kontinuumshypothese

Hilberts zweites Problem

Fragestellung: Sind die arithmetischen Axiome widerspruchsfrei? Lösung: Nach dem Unvollständigkeitssatz von Kurt Gödel kann diese Frage nicht mit Hilfe der arithmetischen Axiome beantwortet werden.

Hauptartikel: Hilbertprogramm

Hilberts drittes Problem

Fragestellung: Sind zwei beliebige Tetraeder mit gleichen Grundflächen und gleichen Höhen stets zerlegungsgleich oder lassen sie sich mit kongruenten Polyedern zu zerlegungsgleichen Körpern ergänzen? Lösung: Nein.

• W. F. Kagan: Über die Transformation der Polyeder. In: Mathematische Annalen. Springer, Berlin 57.1903, S.421-424. ISSN 0025-5831

Hilberts viertes Problem

Fragestellung: Wie lassen sich die Metriken charakterisieren, in denen alle Geraden Geodäten sind? Lösung: Heute gibt es zahlreiche Publikationen, die sich mit der Charakterisierung derartiger Metriken beschäftigen. Hilberts Problem ist jedoch zu vage gestellt, um eine klare Lösung angeben zu können.

Hauptartikel: Hilberts viertes Problem

Hilberts fünftes Problem

Fragestellung: Können zu einer beliebigen, lokal euklidischen, topologischen Gruppe Koordinaten so gewählt werden, dass sie die Struktur einer Lie-Gruppe besitzt? Lösung: Ja.

Hauptartikel: Hilberts fünftes Problem

Hilberts sechstes Problem

Fragestellung: Wie kann die Physik axiomatisiert werden? Lösung: Unbekannt.

Hauptartikel: Physik

Hilberts siebtes Problem

Fragestellung: Ist die Potenz αβ immer transzendent, wenn α algebraisch (α ≠ 0,1) und β irrational und algebraisch ist? Lösung: Ja.

Hauptartikel: Satz von Gelfond-Schneider

Hilberts achtes Problem

Fragestellung: Besitzen alle nichttrivialen Nullstellen der riemannschen Zetafunktion den Realteil ½? Ist jede gerade Zahl größer als 2 als Summe zweier Primzahlen darstellbar? Lösung: Unbekannt.

Hauptartikel: Riemannsche Vermutung, Goldbachsche Vermutung

Hilberts neuntes Problem

Fragestellung: Wie kann das Reziprozitätsgesetz auf beliebige Zahlkörper verallgemeinert werden? Lösung: Nur im abelschen Fall bekannt.

Hauptartikel: Quadratisches Reziprozitätsgesetz

Hilberts zehntes Problem

Fragestellung: Wie kann man entscheiden, ob eine beliebige diophantische Gleichung lösbar ist? Lösung: Gar nicht.

Hauptartikel: Diophantische Gleichung

Hilberts elftes Problem

Fragestellung: Wie kann die Theorie der quadratischen Formen auf beliebige algebraische Zahlkörper verallgemeinert werden? Lösung: Die Theorie wurde im 20. Jahrhundert umfangreich ausgebaut.

Hauptartikel: Quadratische Form

Hilberts zwölftes Problem

Fragestellung: Wie lässt sich der Satz von Kronecker-Weber auf beliebige Zahlkörper verallgemeinern? Lösung: Unbekannt.

Hauptartikel: Hilberts zwölftes Problem

Hilberts dreizehntes Problem

Fragestellung: Kann die Lösung der Gleichung x7 + ax3 + bx2 + x + 1 = 0 mit Hilfe einer endlichen Zahl von stetigen Funktionen konstruiert werden, die von zwei Variablen abhängen? Lösung: Ja.

Hauptartikel: Hilberts dreizehntes Problem

Hilberts vierzehntes Problem

Fragestellung: Sind bestimmte Ringe endlich erzeugt? Lösung: Nein.

Hauptartikel: Hilberts vierzehntes Problem

Hilberts fünfzehntes Problem

Fragestellung: Wie kann Schuberts Abzählungskalkül konkretisiert und formal begründet werden? Lösung: Die Ergebnisse von Schubert sind in der Mitte des 20. Jahrhunderts gut verstanden worden.

Hauptartikel: Schuberts Abzählungskalkül

Hilberts sechzehntes Problem

Fragestellung: Was kann über die gegenseitige Lage von algebraischen Kurven ausgesagt werden? Lösung: Es konnten verschiedene Ergebnisse erzielt werden, viele Fragen bleiben aber offen.

Hauptartikel: Hilberts sechzehntes Problem

Hilberts siebzehntes Problem

Fragestellung: Kann jede rationale Funktion, die überall, wo sie definiert ist, nichtnegative Werte annimmt, als Summe von Quadraten von rationalen Funktionen dargestellt werden? Lösung: Ja.

Hauptartikel: Hilberts siebzehntes Problem

Hilberts achtzehntes Problem

Fragestellung: Gibt es nur endlich viele wesentlich verschiedene Raumgruppen im n-dimensionalen euklidischen Raum? Lösung: Ja.

Hauptartikel: Hilberts achtzehntes Problem, Keplersche Vermutung

Hilberts neunzehntes Problem

Fragestellung: Sind alle Lösungen von Lagrangefunktionen analytisch? Lösung: Unter gewissen Voraussetzungen ja.

Hauptartikel: Hilberts neunzehntes Problem

Hilberts zwanzigstes Problem

Fragestellung: Unter welchen Bedingungen besitzen Randwertprobleme Lösungen? Lösung: Die Existenz einer Lösung kann nicht in jedem Fall durch eine Beschränkung der Randwerte gesichert werden.

Hauptartikel: Hilberts zwanzigstes Problem

Hilberts einundzwanzigstes Problem

Fragestellung: Gibt es stets ein System von fuchsschen Differentialgleichungen bei gegebenen Singularitäten und gegebener Monodromiegruppe? Lösung: Nein.

Hauptartikel: Riemann-Hilbert-Problem

Hilberts zweiundzwanzigstes Problem

Fragestellung: Wie können analytische Beziehungen mittels automorpher Funktionen uniformisiert werden? Lösung: Für Gleichungen mit zwei Variablen gelöst, bei mehr Variablen gibt es noch offene Fragen.

Hauptartikel: Uniformisierung

Hilberts dreiundzwanzigstes Problem

Fragestellung: Wie können die Methoden der Variationsrechnung weiterentwickelt werden? Lösung: Das Problem ist zu vage gestellt, um eine konkrete Lösung angeben zu können.

Hauptartikel: Variationsrechnung