Benutzer:Modalanalytiker/Komplexe Scheinleistung

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Die komplexe Scheinleistung (Symbol ${\underline {S}}$, Einheit VA) ist für Zweipole mit sinusförmiger Spannung und Stromstärke definiert. Sie fasst die reellwertigen Leistungskennwerte Wirkleistung, Verschiebungsblindleistung und Scheinleistung in einer komplexwertigen Größe zusammen.

Reelle Ausgangsgrößen

Die Scheinleistung $S$, die Wirkleistung $P$ und die Verschiebungsblindleistung $Q$ eines Zweipols lassen sich aus den Effektivwerten von Spannung und Stromstärke $U$ bzw. $I$ und dem Phasenverschiebungswinkel $\varphi$ mit

$S=UI$,

$P=S\cos \varphi$

und

$Q=S\sin \varphi$

berechnen. Wenn die Betriebsgrößen des Zweipols $U,\,I$ und $\varphi$ beispielsweise aus einer Messung bekannt sind, wäre die weitere Zusammenfassung der Leistungskennwerte in einer komplexwertigen Größe überflüssig.

Varianten der Herleitung

Ohne Umweg

Die Definition einer komplexen Scheinleistung ${\underline {S}}$ erweist sich dagegen als praktisch, wenn für den untersuchten Zweipol die Ergebnisse einer komplexen Wechselstromrechnung vorliegen. Dann sind die Effektivwertzeiger von Stromstärke und Spannung

${\underline {U}}=U\mathrm {e} ^{\,\mathrm {j} \varphi _{u}}$

bzw.

${\underline {I}}=I\mathrm {e} ^{\,\mathrm {j} \varphi _{i}}$

bekannt. Das Produkt aus komplexwertiger Spannung und und konjugiert komplexer Stromstärke ${\underline {U}}{\underline {I}}^{*}$ bietet sich als passendes Konstrukt an, weil sein Betrag gleich der (reellen) Scheinleistung $UI$ und sein Argument gleich dem Phasenverschiebungswinkel $\varphi =\varphi _{u}-\varphi _{i}$ ist.

Die so motivierte Definition der komplexen Scheinleistung (kurz: komplexe Leistung)

${\underline {S}}=UI\mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi }=UI(\cos \varphi +\mathrm {j} \sin \varphi )=P+\mathrm {j} Q$

erlaubt die interessierenden reellen Kenngrößen des vorigen Abschnitts

$P=\operatorname {Re} {\underline {S}}$

$Q=\operatorname {Im} {\underline {S}}$

$S=|{\underline {S}}|$ und

$\varphi =\arg {\underline {S}}$

durch Bildung des Real- und Imaginärteils, des Betrags und des Arguments von ${\underline {S}}$ unmittelbar aus dem Resultat der Zeigerrechnung zu gewinnen.

Mit Spannungszerlegung

${\underline {U}}=U_{w}{\frac {\underline {I}}{I}}+U_{b}{\frac {{\text{j}}{\underline {I}}}{I}}$	(1)	Orthogonale Zerlegung von ${\underline {U}}$ nach ${\underline {I}}$
$U{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=U_{w}+{\text{j}}U_{b}$	(2)	Gl. (1) mit ${\frac {I}{\underline {I}}}$ multipliziert und ${\frac {I}{\underline {I}}}{\underline {U}}=U{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }$ gesetzt
$U\cos \varphi +{\text{j}}U\sin \varphi =U_{w}+{\text{j}}U_{b}$	(3)	Eulersche Formel auf Linksterm von Gl. (2) angewendet
$U_{w}=U\cos \varphi ,\quad U_{b}=U\sin \varphi$	(4)	Vergleich der Real- und Imaginärteile in Gl. (3)
${\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=U_{w}I+{\text{j}}U_{b}I$	(5)	Gl. (1) mit ${\underline {I}}^{*}$ multipliziert
${\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi$	(6)	Gln. (4) in Gl. (5) verwendet
$P=UI\cos \varphi ,\quad Q=UI\sin \varphi$	(7)	Die vorab bekannten Gln. für Wirk- und Blindleistung
${\underline {S}}:={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=P+{\text{j}}Q$	(8)	Gln. (7) für (6) benutzt und Defiition der komplexen Scheinleistung

Zusammenfassung

${\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=P+{\text{j}}Q=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi =U_{w}I+{\text{j}}U_{b}I$

Mit Stromzerlegung

${\underline {I}}=I_{w}{\frac {\underline {U}}{U}}+I_{b}{\frac {\underline {U}}{{\text{j}}U}}$	(1)	Orthogonale Zerlegung von ${\underline {I}}$ nach ${\underline {U}}$
$I{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=I_{w}+{\text{j}}I_{b}$	(2)	Gl. (1) mit ${\frac {U}{\underline {U}}}$ multipliziert und Identität ${\frac {U}{\underline {U}}}{\underline {I}}=I{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }$ benutzt
$I\cos \varphi +{\text{j}}I\sin \varphi =I_{w}+{\text{j}}I_{b}$	(3)	Eulersche Formel auf Linksterm von Gl. (2) angewendet
$I_{w}=I\cos \varphi ,\quad I_{b}=I\sin \varphi$	(4)	Vergleich der Real- und Imaginärteile in Gl. (3)
${\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI_{w}+{\text{j}}UI_{b}$	(5)	Gl. (1) konjugiert und mit ${\underline {U}}$ multipliziert
${\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi$	(6)	Gln. (4) in Gl. (5) verwendet
$P=UI\cos \varphi ,\quad Q=UI\sin \varphi$	(7)	Die vorab bekannten Gln. für Wirk- und Blindleistung
${\underline {S}}:={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=P+{\text{j}}Q$	(8)	Gln. (7) für (6) benutzt und Defiition der komplexen Scheinleistung

Zusammenfassung

${\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}=UI{\text{e}}^{{\text{j}}\varphi }=P+{\text{j}}Q=UI\cos \varphi +{\text{j}}UI\sin \varphi =UI_{w}+{\text{j}}UI_{b}$

Anmerkung

Die Gleichungen dieses Artikels gelten in der angegebenen Form in beiden Zählpfeilsystemen. Die drei Definitionsvarianten - in der Reihenfolge zunehmenden Herleitungsaufwands angeordnet - führen zum gleichen Ergebnis ${\underline {S}}={\underline {U}}{\underline {I}}^{*}$.

Literatur

• Lehrbücher über Grundlagen der Elektrotechnik