Benutzer:Nzds1

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Mathe

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$

Verrückt, nicht wahr?

Phonetik

Resonanzfrequenzen in Röhren

Beidseitig geschlossene Röhre

Hier soll zunächst die (erste) Resonanzfrequenz einer 10cm langen beidseitig geschlossenen Röhre berechnet werden. Auf der einen Seite ist die Röhre durch die Schallquelle, auf der anderen Seite durch eine Wand geschlossen. Als Wert für die Schallgeschwindigkeit wird hier 35.000cm/s angenommen. Die Wellenlänge der ersten Resonanzfrequenz (λ) in dieser Röhre beträgt zweimal die Länge der Röhre (2L). Die Erklärung hierfür ist, dass das Luftdruck-Maximum, welches zu Beginn durch die Schallquelle auf der einen Seite gesendet wird (vgl. Longitudinalwelle), zunächst bis zur gegenüberliegenden Wand wandert (erstes L), dort reflekiert wird, und den gleichen Weg nochmal zurückwandert um zur Schallquelle zurückzukehren (zweites L).

$F_{1}={\frac {c}{2\cdot L}}={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{20\mathrm {cm} }}=1750\mathrm {s} ^{-1}=1750\mathrm {hz}$

Die zweite Resonanzfrequenz ist das Doppelte der ersten Resonanzfrequenz. Das liegt daran, dass die Wellenlänge in diesem Fall die Hälfte (= 10cm) beträgt. Es ergibt sich folgende Resonanzfrequenz:

$F_{2}={\frac {c}{L}}={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{10\mathrm {cm} }}=3500\mathrm {hz}$

Im allgemeinen Fall berechnet sich die Resonanzfrequenz in einer beidseitig geschlossenen Röhre wie folgt:

$F_{n}={\frac {n\cdot c}{2\cdot L}}$

Einseitig geschlossene Röhre

In dieser Variante fehlt die reflektierende Verschlusswand auf der einen Seite der Röhre. Diese Konstellation aus Schallquelle und folgendem Resonanzraum in Form einer offenen Röhre wird im Quelle-Filter-Modell aufgegriffen um die Realisierung von Lauten der natürlichen Sprache bei deren Produktion die Lippen geöffnet sind (insbesondere Vokale) vereinfacht nachzubilden.

Für die Berechnung der Resonanzfrequenz ist jedoch wichtig, dass trotz der fehlenden Wand eine Art Reflektion stattfindet. Beim Heraustreten aus dem Vokaltrakt trifft die Luft an den Lippen auf eine unbewegliche äußere Luftmasse. Hier werden die Schallwellen polarisiert zurückgeworfen (ein Luftdruck-Maximum wird als ein Minimum reflektiert). Hieraus ergibt sich, dass ein Luftdruck-Maximum vier Perioden braucht um als solches wieder bei der Schallquelle anzukommen. Es wandert als Maximum los, wird an der Öffnung als Minimum reflektiert (erstes L), kommt somit als Minimum zur Schallquelle zurück (zweites L), um dann ein weiteres Mal an der Öffnung polarsiert reflektiert zu werden (drittes L) und letztlich als Maximum zur Schallquelle zurückzukehren (viertes L). Die Wellenlaenge λ der ersten Resonanzwelle ist also 4L. Für unsere 10cm lange Röhre ergibt sich folgende erste Resonanzfrequenz:

$F_{1}={\frac {c}{4\cdot L}}={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{40\mathrm {cm} }}=875\mathrm {s} ^{-1}=875\mathrm {hz}$

Für die zweite Resonanzfrequenz gilt:

$F_{2}={\frac {3\cdot c}{4\cdot L}}={\frac {105000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{40\mathrm {cm} }}=2625\mathrm {hz}$

Allgemein gilt:

$F_{n}={\frac {(2n-1)\cdot c}{4\cdot L}}$

Länge des Vokaltrakts bestimmen

Mit Hilfe der letztgenannten Formel lässt sich u.A. auch die Länge eines Vokaltrakts ausrechnen. Bei der Artikulation des mittleren Zentralvokals Schwa kommt der Vokaltrakt dem idealisierten Ansatzrohr am nächsten, da die Luft aus den Lungen ungehindert ausströmen kann. Insofern lässt sich Anhand der durch die erwähnten Resonanzcharakteristika des offenen Rohres entstehenden Energiemaxima im Spektrum des produzierten Schwas, die Länge des Vokaltrakts zurückberechnen.

Die oben beschriebene Formel zur Berechnung der ersten Resonanzfrequenz lässt sich leicht umstellen um auf die Länge des Vokaltrakts zu kommen indem L und F vertauscht werden.

$L={\frac {(2n-1)\cdot c}{4\cdot F_{n}}}$

Für einen Sprecher dessen erster Formant (siehe unten) bei der Produktion von Schwa nun einen Wert von 560hz ergibt, lässt sich somit folgendes berechnen:

$L={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{2240\mathrm {hz} }}=15{,}625\mathrm {cm}$. Dies würde eher auf einen weiblichen Sprecher hindeuten.

Quelle-Filter-Modell

Wie oben bereits angedeutet lässt sich der menschliche Vokaltrakt in einer stark vereinfachten Form als einseitig geschlossene Röhre beschreiben. Die Länge dieser „Röhre“, welche sich von der Glottis bis zu den Lippen erstreckt, liegt bei Männern im Bereich von 17,5cm. Die Stimmlippen an der Glottis werden zur Produktion stimmhafter Laute durch Luft, die aus dem Brustkorb strömt, in Schwingungen versetzt bzw. nehmen zur Produktion stimmloser Laute bestimmte Stellungen ein. Sie stellen die Quelle des Modells dar. Der produzierte Sprachschall kann durch verschiedene Konstriktionen im Vokaltrakt modifiziert werden, um die unterschiedlichen Lautklassen zu produzieren.

Das von den Stimmlippen produzierte Quellsignal ist eine komplexe periodische Welle, die sich aus Sinuswellen unterschiedlicher Frequenzen zusammensetzt. Die Anzahl der Wiederholungen dieser Welle pro Sekunde bezeichnet die Grundfrequenz $\mathrm {F} _{0}$ des Sprachsignals.

Wie oben beschrieben besitzt eine einseitig geschlossene Röhre verschiedene Resonanzfrequenzen. Diese führen bei der Sprachproduktion dazu, dass jene Frequenzanteile des komplexen Sprachsignals, die diesen Resonanzfrequenzen entsprechen besonders verstärkt werden, während die Frequenzen, die den Resonanzfrequenzen nicht entsprechen, abgeschwächt werden. Dieses System ähnelt dem Einsatz von Bandpassfiltern. Insgesamt lässt sich so die Bezeichnung „Quelle-Filter-Modell“ erklären.

Formanten

Die Werte der Resonanzfrequenzen des Vokaltrakts, bei der Artikulation eines bestimmten Lautes, hängen von der Länge des Vokaltrakts und seiner Form ab, und werden als die Formantwerte dieses Lautes bezeichnet. Formanten entsprechen grob bestimmten Bereichen des Ansatzrohres und lassen sich im Spektrogramm als Frequenzbereiche hoher Intensität ausmachen. Weiter sind sie immer Vielfache der Grundfrequenz. Für die Unterscheidung der Vokale werden die ersten zwei oder drei Formantwerte $\mathrm {F} _{1}$, $\mathrm {F} _{2}$ und $\mathrm {F} _{3}$ herangezogen. Der mittlere Zentralvokal Schwa, der ohne jegliche Einengung im Vokaltrakt produziert wird, hat seine Formanten z.B. in etwa bei 500hz, 1500hz und 2500hz.

Bei Vokalen an dessen Artikulation Konstriktionen, Lippenrundung oder Zungenbewegung beteiligt sind, ist das Quelle-Filter-Modell ebenfalls in der Lage die Formantwerte vorherzusagen. Hierfür wird angenommen, dass der Vokaltrakt nicht nur eine Röhre ist, sondern sich z.B. aus zwei miteinander verbundene Röhren zusammensetzt. Demnach entsprechen $\mathrm {F} _{1}$ und $\mathrm {F} _{2}$ jeweils einer dieser Röhren. Man spricht auch auch von der vorderen und hinteren Röhre (front and back cavity). Der Bereich von Glottis bis zur Position wo sich der vordere Bereich mit dem hinteren Bereich schneidet markiert die hintere Röhre, und der Bereich von diesem Schnittpunkt bis zu den Lippen markiert die vordere Röhre. Für jedes dieser Rohre gilt, je länger es ist, desto tiefer ist die sich ergebene Frequenz. Umgekehrt gilt für kurze Rohre, dass sich eine hohe Formantfrequenz ergibt. Der tiefere Wert der beiden Rohre ist der Wert für den ersten Formanten $\mathrm {F} _{1}$. Der höhere demnach der Wert für $\mathrm {F} _{2}$.

Für das /ɑ/ (hinten, mitteltief) könnte man z.B. annehmen: hinteres Rohr ≈ 6,5cm, vorderes Rohr ≈ 11cm

${\frac {35000{\frac {\mathrm {cm} }{\mathrm {s} }}}{4\cdot 6\mathrm {cm} }}=1458\mathrm {hz} =\mathrm {F} _{2}$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{35000\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}}{4 \cdot 11{,}5\mathrm{cm}} = 761\mathrm{hz} = \mathrm{F}_1}

Diese grobe Annäherung entspricht tatsächlich ansatzweise den Formantwerten für das /ɑ/.

Perturbationstheorie

Die Perturbationstheorie (Perturbation ≈ Störung) geht ebenfalls vom Ansatzrohrmodell aus. Jedoch geht es hierbei mehr um das Zusammenwirken von Luftdruck und Geschwindigkeit als um Resonanzcharakteristika.

Es geht von der vereinfachten Annahme aus, dass ein Luftmolekül aufgrund von Luftdruckschwankungen auf seinem Platz z.B. von links nach rechts schwingt (ähnlich Fadenpendel). Hierbei kann es entweder dicht an ein anderes Molekül gepresst sein, oder aber weit von seinem Nachbarn entfernt sein. Im ersten Fall ist die Geschwindigkeit niedrig (Antiknoten). Das Molekül ist verlangsamt um seine Richtung zu ändern. Gleichzeitig ist der Luftdruck hoch. Im zweiten Fall ist die Geschwindigkeit hoch und der Luftdruck niedrig (Knoten).

Dieser Zusammenhang zwischen Luftdruck und Geschwindigkeit (bzw. potentieller und kinetischer Energie) wird in der Perturbationstheorie nun herangezogen um Formantwerte vorherzusagen. Wie oben beschrieben ist in einem einseitig geschlossenen Rohr an der Position der Schallquelle ein Luftdruckmaximum und in Folge dessen auch ein Geschwindigkeitsminimum. An der Öffnung – den Lippen – befindet sich demnach immer ein Luftdruckminimum bzw. Geschwindigkeitsmaximum.

Die einzelnen Formanten haben demnach Geschwindigkeitsmaxima und Luftdruckmaxima ungefähr an folgenden Positionen:

Formant	Geschwindigkeitsmaxima	Luftdruckmaxima
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{F}_1}	Lippen	Glottis
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{F}_2}	Pharynx Lippen	Glottis Palatum
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{F}_3}	Epiglottis Palatum Lippen	Glottis Uvula Alveolen

Die Perturbationstheorie sagt nun aus:

1. Eine Konstriktion im Vokaltrakt nahe einem Geschwindigkeitsmaximum senkt die Frequenz ab
2. Eine Konstriktion im Vokaltrakt nahe einem Luftdruckmaximum hebt die Frequenz an

Bei dem Vokal /ɑ/ z.B. findet eine Konstriktion im pharyngalen Bereich des Vokaltrakts statt, wodurch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{F}_1} etwas angehoben und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{F}_2} gesenkt wird.