Benutzer:PrismaNN/Orstkurve (Systemtheorie)

Die Ortskurve ist in der Systemtheorie eine Darstellung des Übertragungsverhaltens eines linearen zeitinvarianten Systems als komplexer Operator in der komplexen Ebene in Abhängigkeit von einem realen Parameter.

Die Übertragungsfunktion lässt sich nur in einem 4-dimensionalen Koordinatensystem darstellen.
die Ortskurve ist eine Darstellung in einer (Gauß'schen) Ebene.

Besonders häufig wird sie zur Darstellung des Frequenzgangs verwendet, der das Übertragungsverhalten sinusförmiger Signale beschreibt (Parameter ist deren Frequenz).

Der Frequenzgang ist die Übertragungsfunktion für eingeschwungenem Zustand: s=j·ω
Die allgemeine Übertragungsfunktion mit dem komplexen Parameter s=δ+j·ω ist nicht als Ortskurve darstellbar (s.o.).
Die Übertragungsfunktion mit dem Parameter s=δ ist wiederum als Ortskurve darstellbar;
z.B. untere Abb.: s=p (variabler ohmscher Widerstand)

Baustelle: Formales

Formales kann entfallen, siehe Übertragungsfunktion

Formal ist eine Ortskurve in der Systemtheorie die Darstellung des Verlaufs einer komplexen Größe G als Funktion einer reellen Variablen in der komplexen Ebene; dabei ergibt sich diese Größe G aus dem Verhältnis der komplexen Ausgangsgröße x_a zur komplexen Eingangsgröße x_e . In der Elektrotechnik werden insbesondere Widerstand, Leitwert, Übertragungsfaktor, Übertragungsmaß, Verstärkungsfaktor und Rückkopplungsfaktor als Ortskurven dargestellt. Beim Frequenzgang gilt mit der Kreisfrequenz ω (= 2πf ) als reller Variablen die Beziehung

${\underline {G}}(\omega )={\frac {{\underline {x}}_{a}(\omega )}{{\underline {x}}_{e}(\omega )}}\ .$

Analoge Gleichung aus Artikel Übertragungsfunktion

$G(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+\ldots +b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots +a_{1}s+a_{0}}}$.

Anwendungen

Ortskurve einer RC-Schaltung: Wechselstromwiderstand (Impedanz) Z als Funktion der Frequenz f

Ortskurve einer RL-Schaltung: Wechselstromwiderstand (Impedanz) Z als Funktion eines variablen ohmschen Widerstands R(p), nach

Die Ortskurve ist ein klassisches Mittel in Elektro- und Regelungstechnik, um das Übertragungsverhalten anschaulich darzustellen. Sie macht es möglich, Ergebnisse mittels einfacher Kombinationen aus zeichnerischen (grafischen, geometrischen) Operationen und vereinfachter Rechnungen zu erhalten.

In der Elektrotechnik wird das Übertragungsverhalten einer Schaltung zum Beispiel mit einer Ortskurve für den komplexen Operator Widerstand, Leitwert, Übertragungsfaktor, Übertragungsmaß, Verstärkungsfaktor oder Rückkopplungsfaktor veranschaulicht. Parameter kann der Wert eines Bauelementes oder die Wechselstromfrequenz sein.

In der Regelungstechnik wird die vorliegende Darstellung des Verhaltens von Bauteilen und Bauteilgruppen ausschließlich für die Übertragung sinusförmiger Test-Signale als Ortskurve oder Nyquist-Diagramm bezeichnet. Alternativ dazu werden die beiden Teile des Frequenzgangs getrennt in einem Bode-Diagramm abgebildet. Für die Darstellung der Polstellen in einer Ortskurve werden in der Regelungstechnik Wurzelortskurven verwendet. Alternative Möglichkeiten, den Frequenzgang darzustellen

Frequenzgang-Beispiel ist die Darstellung des komplexen Operators Wechselstromwiderstand (Impedanz) Z als Ortskurve (siehe abgebildete Ortskurve einer RC-Schaltung). Eingangsgröße x_e ist der Wechselstrom, Ausgangsgröße x_a ist die sich mit der Frequenz ändernde Wechselspannung.

Kein Frequenzgang ist zum Beispiel die Abhängigkeit des Wechselstromwiderstands einer elektrischen Schaltung von einem in ihr enthaltenen Ohmschen Widerstands R (siehe abgebildete Ortskurve einer RL-Schaltung mit Potentiometer). Eine vergleichbare Ortskurve liegt vor, wenn der Wechselstromwiderstand in einer RC-Schaltung (siehe obige Abbildung) nicht mit der Frequenz, sondern zum Beispiel mit der Kapazität C (zum Beispiel mit einem Drehkondensator) variiert wird.

Beim Frequenzgang lassen sich die sinusförmig zeitabhängigen Größen als in der komplexen Ebene rotierende Zeiger vorstellen. Man betrachtet aber nur jene Momente, in der der Zeiger der Eingangsgröße auf der positiven realen Achse liegt. Das Ausgangssignal liegt als zweiter Zeiger mit seiner sich ergebenden Länge und Phasenlage beliebig in dieser Ebene. Bei Veränderung der Frequenz als reeller Parameter wandert die Spitze des zweiten Zeigers. Die Verbindung aller denkbaren Orte seiner Spitze ist die Ortskurve als Funktion der Frequenz. Bei Übertragungsfunktionen ohne Zeitabhängigkeit ruhen die Zeiger.

Siehe auch

• Komplexe Wechselstromrechnung

Literatur

• Manfred Reuter, Serge Zacher: Regelungstechnik für Ingenieure. 12. Auflage. Vieweg + Teubner, 2008, ISBN 978-3-8348-0018-3.