Benutzer:Rbb/Maxwell

Maxwellgleichungen im Feldlinienbild

Das elektrische und magnetische Feld können durch Feldlinien repräsentiert werden. Der Verlauf einer Feldlinie repräsentiert die Richtung wirkenden Kraft, die Feldliniendichte (die Nähe der Feldlinien zueinander) stellt die Feldstärke dar.

In der folgenden Abbildung wird das Feldlinienbild anhand von einer positiven und einer negativen Ladung verdeutlicht. Das elektrische Feld ist an den Ladungsträgern am größten und nimmt mit größerer Entfernung ab:

Feldlinien zwischen positiv und negativen Ladungsträgern

In Quellenfeldern zeichnen sich die Feldlinien durch einen Anfang und ein Ende aus (oder verschwinden im Unendlichen). In Wirbelfeld sind die Feldlinien geschlossene Kurven.

• Das Gaußsche Gesetz für elektrische Felder besagt, dass elektrische Ladungsträger Quellen und Senken des elektrischen Feldes sind, also Anfang und Ende für elektrische Feldlinien darstellen.

• Gaußsches Gesetz für den Magnetismus: Es gibt keine Quellen für Magnetfelder, beziehungsweise Magnetfelder haben nur geschlossene Feldlinien:

Feldlinien ds Magnetfelds sind geschlossen

• Induktionsgesetz von Faraday: Zeitliche Änderungen des magnetischen Feldes führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.

• Erweitertes ampèresches Gesetz: Elektrische Ströme - einschließlich einer zeitlichen Änderung des elektrischen Felds - führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.

Gleichungen

Im engeren Sinne sind die Maxwell-Gleichungen die mathematische Beschreibung dieser Gesetze. Direkt analog zu den Gesetzen kann man sie mit vier gekoppelten Differentialgleichungen beschreiben, es gibt jedoch auch weitere äquivalente Formulierungen.

Mikroskopische Maxwellgleichungen

Die mikroskopischen Maxwellgleichungen verknüpfen die Elektrische Feldstärke $\mathbf {E}$, magnetische Flussdichte $\mathbf {B}$ mit der Ladungsdichte $\rho$ (Ladung per Volumen) und Stromdichte $\mathbf {\jmath }$ (Strom per durchflossener Fläche).

Name	SI	Physikalischer Inhalt
Gaußsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	Elektrische Feldlinien divergieren voneinander unter Anwesenheit elektrischer Ladung, die Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Magnetische Feldlinien divergieren nicht, das magnetische Feld ist quellenfrei; es gibt keine magnetischen Monopole.
Induktionsgesetz von Faraday	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	Änderungen des magnetischen Feldes führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.
Erweitertes ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$	Elektrische Ströme - einschließlich des Verschiebungsstroms - führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.

Makroskopische Maxwellgleichungen

Bei Anwesenheit von Materie sind die mikroskopischen Maxwellgleichungen unhandlich, schließlich muss jeder Ladungsträger in jedem Atom des Mediums berücksichtigt werden. Durch die Unterscheidung von freien Ladungsträgern (etwa Leitungselektronen im el. Leiter) und gebundenen Ladungsträgern (etwa Hüllenelektronen) kann man äquivalente makroskopische Maxwell-Gleichungen finden. Dabei wird davon ausgegangen, dass die gebundenen Ladungsträger durch mikroskopische Prozesse zu einer makroskopischen Polarisation P bzw. Magnetisierung M führen.

Illustration: Mikroskopische Dipole und Kreisströme führen zu makroskopischen Polarisationen

Dies wird durch die Einführung zweier Hilfsgrößen, der Elektrische Flussdichte $\mathbf {D} :={\frac {\mathbf {E} }{\epsilon _{0}}}-\mathbf {P}$ und der Magnetischen Feldstärke $\mathbf {H}$ ermöglicht.

Name	SI	Physikalischer Inhalt
Gaußsches Gesetz	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{frei}}$	Die Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes.
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	Das magnetische Feld ist quellenfrei; es gibt keine magnetischen Monopole.
Induktionsgesetz von Faraday	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	Änderungen des magnetischen Feldes führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.
Erweitertes ampèresches Gesetz	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} _{\text{frei}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	Elektrische Ströme - einschließlich des Verschiebungsstroms - führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.

In den Formeln bezeichnen die fett gesetzten Symbole Vektoren und die kursiv gesetzten Symbole Skalare.

Die Differentialoperatoren bedeuten:

• $\nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E}$ bezeichnet die Rotation von E;
• $\nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E}$ ist die Divergenz von E.