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Integralfunktion

Man erhält so ohne weiteres das Integral als Funktion von x, indem man in dem Intervall [a,b] eine Veränderliche x wählt, und für eine der beiden Grenzen des bestimmten Integrals einsetzt (vorzugsweise der oberen). Dann ist die Integralfunktion eine Funktion der (oberen) Grenze und der Integrationsbereich das Intervall [a,b]. Ersetzt man nun die (untere) Grenze a durch c mit $c\in [a,b]$, so unterscheidet sie sich durch die mit der Grenze a durch eine Konstante.

Wählt man nun x>b, wie im unbestimmten Integral, so wird das Intervall [a,x] ein offenes und der Integrationsbereich ein Zahlbereich.

Erhält man die Integralfunktion durch Umkehrung der Differentiation, $\Phi {'}(x)=f(x)$, so kann man jede beliebige Konstante c wählen und hinzufügen: $(\Phi (x)+c){'}=f(x)$, so erhält man dieselbe Integralfunktion. Ändert man nun noch zusätzlich die feste (untere) Grenze der Integralfunktion (die ja jetzt eigentlich noch gar nicht bestimmt ist), unterscheidet es sich noch um die andere Konstante dieser Veränderung zusätzlich. Der Wertebereich der Differentiation wird zum Definitionsbereich der Integralfunktion, also seinem Integrationsbereich.

Notation

Die symbolische Schreibweise von Integralen geht auf den Miterfinder der Differential- und Integralrechnung, Gottfried Wilhelm Leibniz, zurück. Das Integralzeichen ist aus dem Buchstaben S für lateinisch summa abgeleitet. Die multiplikativ zu lesende Notation $f(x)\;\mathrm {d} x$ deutet an, wie sich das Integral aus Streifen der Höhe $f(x)$ und der infinitesimalen Breite $\mathrm {d} x$ zusammensetzt. Dieses $\mathrm {d} x$ wird Integrationsvariable oder Differential genannt. Es kommt auch in der Leibniz'schen Ableitungsnotation $\mathrm {d} f/\mathrm {d} x$ vor und wird in der Theorie der Differentialformen verallgemeinert.

Es zeigt sich, dass $\int$ das Gegenteil von $\mathrm {d}$ ist. $\mathrm {d} F=f\mathrm {d} x$ wird zu $F=\int f\,\mathrm {d} x$

Der Begriff Integral für diese Art der Flächenberechnung geht auf Johann Bernoulli zurück.

Manchmal hat es Vorteile, das Differential vor den Integranden zu schreiben. Mehrdimensionale Integrale werden so leichter lesbar, und man hebt hervor, dass das Integral ein linearer Operator ist:

$\int f(x)\,\mathrm {d} x=\int \mathrm {d} x\,f(x)$