Benutzer:Roomsixhu/Syllogistik

Syllogistik auf einer Seite

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Einleitung

Die Axiomatik ist ein erweiterter boolescher Verband mit negierter Halbordnung. Wenn

a $\leq$ b

nicht gilt, ist das sinnvoll im Kalkül formulierbar. Z.B die Kontraposition einer Grundregel A8:

$(a\not \leq b)\leq (a\not =b)$

Wegen des Satzes der Identität:

a = a

und der Folgerung

a $\leq$a

gilt der Satz vom Widerspruch:

$a\cdot {\bar {a}}\leq 0$

Weiter folgert man oder es gilt:

$(a\leq b)\cdot (a\leq {\bar {b}})\leq (a\leq 0)$

der Satz vom ausgeschlossenen Dritten (tertium non datur, s. u.).

Syllogistik

" Sechs der schlüssigen Syllogismen (...) lassen sich auf einfache Weise mit Hilfe des Satzes (37)^[2]:

$(x\cdot y\leq z)=(x\cdot {\bar {z}}\leq {\bar {y}})=(y\cdot {\bar {z}}\leq {\bar {x}})$

gewinnen aus den Formeln:

• $(a\leq b)\cdot (b\leq c)\leq (a\leq c)$ barbara
• $(a\leq b)\cdot (b\cdot c=0)\leq (a\cdot c=0)$ celarent
• $(a\leq b)\cdot (a\cdot {\bar {c}}\not =0)\leq (b\cdot {\bar {c}}\not =0)$ bocardo
• $(b\leq c)\cdot (a\cdot {\bar {c}}\not =0)\leq (a\cdot {\bar {b}}\not =0)$ baroco
• $(a\leq b)\cdot (a\cdot c\not =0)\leq (b\cdot c\not =0)$ darii
• $(b\cdot c=0)\cdot (a\cdot c\not =0)\leq (a\cdot {\bar {b}}\not =0)$ ferio

Darapti, felapton und die Subalternation, der Übergang von a zu i, bedürfen zu ihrer Gültigkeit der Annahme, daß der Mittelbegriff nicht widerspruchsvoll ist:

• $(a\leq b)\cdot (a\leq c)\cdot (a\not =0)\leq (b\cdot c\not =0)$ darapti
• $(a\leq b)\cdot (a\cdot c=0)\cdot (a\not =0)\leq (b\cdot {\bar {c}}\not =0)$ felapton
• $(a\leq b)\cdot (a\not =0)\leq (a\cdot b\not =0)$ Subalternation

Da die klassische Logik die Unverträglichkeit von a- und e- Urteil lehrt, setzt sie allgemein voraus, daß die auftretenden Begriffe $\not =W$ sind" (nicht gleich dem widersprüchlichen Begriff W (=0) sind). "Denn nur in dem Fall, daß mindestens ein Begriff widerspruchsvoll ist können a und e zusammen bestehen:

"

Legende: Der Doppelpfeil bedeutet die "vollständige" Alternative, der Strich mit Schaft zeigt das Art-Gattungsverhältnis von a zu b an. a ist Art von Gattung b, oder $a\leq b$. In unserer Schreibweise

$(a\cdot b=0)\cdot (a\leq b)=0$

genauer kann man folgern

$(a\cdot b=0)\cdot (a\leq b)\leq (a\leq 0)$.

Schlußbemerkung

Da sich Petzinger auf Freytags Vorarbeit der acht schlüssigen Begriffslagen (oder Begriffsbeziehungen) stützt, sei noch gesagt:

• Unter barbara wird noch bamalip behandelt
• Unter celarent cesare, camestres und calemes
• Unter darii datisi, disamis, dimatis
• Unter ferio festino, ferison und fresison
• Unter felapton fesapo

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Bemerkungen

1. Nach Petzinger "Logik im Abriß" (kaum antiquarisch erhältlich)
2. Satz 37 erhält man mit der Peirce Regel: $(a\cdot b\leq c)=(a\leq c+{\bar {b}})$
3. Über weitere Komplikationen kann man jetzt reden z.B.barbari, Subalternation etc.
4. Abschließend sei erwähnt, daß der Satz vom ausgeschlossenen Dritten nicht im zugrundeliegenden Begriffskalkkül vorausgesetzt wird, sondern sich aus der Dualität von Inhalt und Umfang der Begriffe ableiten läßt.