Benutzer:Sanitiy/Sandbox

Darstellung mithilfe des charakteristischen Polynoms

Speziell für eine quadratische, reguläre Matrix lässt sich das Inverse mithilfe ihres charakteristischen Polynomes berechnen:

Sei $A\in K^{n,n}$ eine quadratische Matrix, und $\chi _{A}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot t^{1}+...+\alpha _{n}\cdot t^{n}$ das charakteristische Polynom von $A$. Dann ist A genau dann regulär, wenn $\alpha _{0}\neq 0$ ist.
Ist dies der Fall kann man fortfahren, und formt $\chi _{A}(t)$ um zu $-{\frac {\chi _{A}(t)-\alpha _{0}}{\alpha _{0}\cdot t}}$ , wobei sich das $t$ wegkürzt, und man wieder ein Polynom, nämlich $-{\frac {\alpha _{1}}{\alpha _{0}}}\cdot t^{1}-{\frac {\alpha _{2}}{\alpha _{0}}}\cdot t^{2}...--{\frac {\alpha _{n}}{\alpha _{0}}}\cdot t^{n}$ erhält. Setzt man nun $A$ in das Polynom ein, ergibt sich das Inverse von A, sprich:

$A^{-1}=-{\frac {\chi _{A}(A)-{\mathcal {I}}_{n}\cdot \alpha _{0}}{\alpha _{0}\cdot t}}$

Das Einsetzen der Matrix in das Polynom verläuft analog zum Einsetzen einer reellen Zahl, nur das hier die Rechenregeln für Matrizen gelten. ${\mathcal {I}}_{n}$ bezeichnet die Einheitsmatrix mit n Zeilen/Spalten.

Herleitung

Ausgenutzt wurde hierbei der Satz von Cayley-Hamilton, welcher besagt, dass sich immer $0$ ergibt, wenn man eine Matrix in ihr charakteristisches Polynom einsetzt. Für $A\in K^{n,n}$ mit ihrem charakteristischem Polynom $\chi _{A}(t)=\alpha _{0}+\alpha _{1}\cdot t^{1}+...+\alpha _{n}\cdot t^{n}$ gilt also immer:

$\chi _{A}(t)=0\,\,\Longleftrightarrow \,\,\alpha _{0}\cdot {\mathcal {I}}_{n}+\sum \nolimits _{i=1}^{n}\alpha _{i}*A^{i}=0\,\,\Longleftrightarrow \,\,-\alpha _{0}\cdot {\mathcal {I}}_{n}=A\cdot \sum \nolimits _{i=1}^{n}\alpha _{i}\cdot A^{i-1}\,\,\Longleftrightarrow \,\,A^{-1}=\displaystyle {\frac {\sum \nolimits _{i=1}^{n}\alpha _{i}\cdot A^{i-1}}{\alpha _{0}}}$

Beispiel

Sei $A={\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}$. Dann ist ihr charakteristisches Polynom $\chi _{A}(t)=t\cdot {\big (}t^{2}-10\cdot t+3{\big )}+8$.

Einsetzen in die Formel ergibt:

${\begin{aligned}A^{-1}&=-{\frac {\chi _{A}(A)-{\mathcal {I}}_{n}\cdot \alpha _{0}}{\alpha _{0}\cdot t}}\\\\&=-{\frac {A\cdot {\big (}A^{2}-10\cdot A+{\mathcal {I}}_{3}\cdot 3{\big )}+8\cdot {\mathcal {I}}_{3}\cdot -8\cdot {\mathcal {I}}_{3}}{A\cdot 8}}\\\\&=-{\frac {A^{2}-10\cdot A+{\mathcal {I}}_{3}\cdot 3}{8}}\\\\&=-{\frac {1}{8}}\cdot {\big (}A\cdot (A-10\cdot {\mathcal {I}}_{3})+{\mathcal {I}}_{3}\cdot 3{\big )}\\\\&=-{\frac {1}{8}}\cdot {\bigg (}{\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}\cdot ({\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}})+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot 3{\bigg )}\\\\&=-{\frac {1}{8}}\cdot {\bigg (}{\begin{pmatrix}3&2&5\\1&1&3\\2&4&6\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-7&2&5\\1&-9&3\\2&4&-4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot 3{\bigg )}\\\\&=-{\frac {1}{8}}\cdot {\bigg (}{\begin{pmatrix}-9&8&1\\0&5&-4\\2&-8&-2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot 3{\bigg )}\\\\&=-{\frac {1}{8}}\cdot {\begin{pmatrix}-6&8&1\\0&8&-4\\2&-8&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$

Erzeugende Funktion

Die erzeugende Funktion $f(x)=\sum _{n\geq 0}A^{n}x^{n}$ einer Bidiagonalmatrix ist ebenfalls eine Matrix mit den gleichen Dimensionen wie $A$. Bezeichne $f_{i,j}(x)$ die Zelle in der $i$-ten Zeile und $j$-ten Spalte von $A$.

Dann gilt:

Gilt $i<j$, so gilt $f_{i,j}(x)=0$. Im Fall $i\geq j$ dagegen gilt:

$f_{i,j}(x)={\frac {1}{1-a_{\max(i,j),\max(i,j)}x}}\cdot \prod _{k=\min(i,j)}^{\max(i,j)-1}{\frac {a_{k,k+1}x}{1-a_{k,k}x}}$

Der Sinn der erzeugende Funktion ist eine Beschreibung von $A^{n}$ mit möglichst universalen Mitteln. Eine geschlossene Formel für jede Zelle von $A^{n}$ wäre natürlich wünschenswerter, ist jedoch aufgrund der Universalität mit ziemlicher Sicherheit nicht möglich (im Gegensatz zu Spezialfällen wie den Jordan-Blöcken - deren explizite Formel kann jedoch problemlos aus der erzeugenden Funktion bestimmt werden).

Bidiagonalmatrizen treten häufig in Zusammenhang mit (linearen?) Rekursionen auf. So kann man sowohl die Binomialkoeffizienten als auch jede Stirling-Zahl mithilfe einer geschickt gewählten Matrix $A$ berechnen, indem man eine Zelle von $A^{n}$ berechnet.
Weiter erhält man Bidiagonalmatrizen (eigentlich allgemeiner Bandmatrizen) im Zusammenhang mit Diskretisierungen von Differentialgleichungen, oder erneut allgemeiner, bei Betrachtung diskreter iterativer Systeme, deren Zustand nur vom aktuellen und letzten Zustand abhängig ist. Sanitiy (Diskussion) 06:37, 13. Aug. 2019 (CEST)

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