Benutzer:SigmaB/Zahlbericht

Der Zahlbericht ist ein von der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in Auftrag gegebener Bericht über den damaligen Stand der algebraischen Zahlentheorie, der von David Hilbert unter dem Titel Die Theorie der algebraischen Zahlkörper im Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1897 veröffentlicht wurde.

Vorgeschichte

Probleme

Großer Fermatscher Satz Fermat n=4, Euler n=3, Dirichlet Legendre n=5,

Kummer 1846 reguläre Primzahlen Hilbertproblem

Quadratisches Reziprozitätsgesetz Euler Entdeckung, Legendre heutige Formulierung, Gauß erster Beweis

Reziprozitätsgesetz Eisenstein, Kummer

Primidealzerlegung von Dedekind und Kronecker

Hilbertproblem

Lehrbücher

Legendre (), Gauss Disquisitiones Arithmeticae, Vorlesungen von Dirichlet (Hrsg. Dedekind) und Ergänzungen Dedekind mit Begriffsbildung ganz, Ideal, aber weitgehend ohne Kummer, Report von Smith mit Kummer Kronecker, Paul Bachmann

DMV

In den ersten Jahren nach ihrer Gründung 1890 war die Deutsche Mathematiker-Vereinigung bestrebt den damaligen Stand der einzelnen mathematischen Fachgebiete über Berichte, die in ihrem Jahresbericht veröffentlicht wurden, zu dokumentieren. So war etwa im dritten Band der Jahresberichte der "Bericht über die Entwicklung der Theorie der algebraischen Funktionen in älterer und neuerer Zeit" von Alexander von Brill und Max Noether erschienen.

Geplant mit Minkowski (elementare Zahlentheorie)/ Hilbert (algebraische Zahlkörper) und 1893 in Auftrag gegeben, dieser hat Korrekturgelesen (Hilbert im Vorwort)

Situation

algebraische Geometrie, komplexe Multiplikation, analytische Zahlentheorie treibend. Große Zahlentheoretiker 19. Jh schon alt oder tot.

Hilbert zunächst Invarianten Theorie, bereits drei Veröffentlichungen )galois Verzweigungsgrppen, Kronecker-Weber) zur algebraischen Zahlentheorie

Inhalt

• Erster Teil (Die Theorie des allgemeinen Zahlkörpers): Eindeutige Primidealzerlegung im Ganzheitsring (Satz 7), Diskriminante, Dirichletscher Einheitensatz (Satz 47), Dedekindsche Zeta-Funktion und Klassenzahlformel (Satz 56)
• Zweiter Teil (Der Galoische Zahlkörper): Zerlegungs-, Trägheits-, Verzweigungsgruppen, Dichtesatz?, Hilberts Satz 90, Klassenkörper?
• Dritter Teil (Der quadratische Zahlkörper): Hilbertsymbol (§64), Geschlechter?, Quadratisches Reziprozitätsgesetz (Satz 101), Klassenzahlen (Satz 114)
• Vierter Teil (Der Kreiskörper): Satz von Kronecker-Weber (Satz 131), Eisensteinsches Reziprozitätsgesetz (Satz 140), Klassenzahl?, Dirichletscher Primzahlsatz (Satz 143), Kreiseinheiten?, Lagrange Resolventen/Gaussche Summen
• Fünfter Teil (Der Kummersche Zahlkörper): Kummersches Reziprozitätsgesetz (Satz 161), Fermat für regulärer Primzahlen (Satz 168)

1 Zusammenfassung von Dedekind (Kronecker) mit Betonung der Relativkörper 2 Galoistheorie mit eigenen Ergebnissen die zuvor erzielt 3 binäre quadratische Formen von Gauß, Geschlechtertheorie und Normenrestsymbol Produkt Satz 102, 159, 163 4 (abelsche Zahlkörper), 5 (heutige Klassenkörpertheorie) Kummer

Hilbert im Vorwort "Die Untersuchungen über die komplexe Multiplikation der elliptischen Funktionen mußten jedoch von der Aufnahme in den vorliegenden Bericht ausgeschlossen werden, weil die Tatsachen dieser Theorie noch nicht bis zu dem Grade der Einfachheit und Vollständigkeit ausgearbeitet sind, daß eine befriedigende Darstellung derselben gegenwärtig möglich ist."

Hilbert benennt wichtige Sätze im Vorwort, dabei fehlen jedoch wegweisende Resultate in 89-94 und auch

"Stickelbergers Theorem" in Satz 138 nur in schwacher Variante

Nachwirkungen

Arithmetisierung der Mathematik

"Zahlbericht" bei Rudolf Fuerter 1903

Fortsetztung durch weitere Berichte von Hasse

Hilbert spätere Arbeiten mit Vermutungen zur Klassenkörpertheorie

Buch von Hecke

Artin Reziprozität

Idele lösen Geschlechter ab

Hensel p-adische Zahlen (S.14)

Hilbert im Vorwort: "Der Zweck des vorliegenden Berichtes ist es, die Tatsachen aus der Theorie der algebraischen Zahlkörper mit ihren Beweisgründen in logischer Entwickelung und nach einheitlichen Gesichtspunkten darzustellen und so mitzuwirken, daß der Zeitpunkt näher komme, wo die Errungenschaften unserer großen Klassiker der Zahlentheorie Gemeingut aller Mathematiker geworden sind." "[...] den schärferen und weiter tragenden Hilfsmitteln den Vorzug." "Ich habe versucht, den großen rechnerischen Apparat von Kummer zu vermeiden"

Begriff "Zahlring" in §31

Geschlechtertheorie ?

Galoistheorie als Theorie der Körpererweiterungen und nicht der Polynome und Wurzeln (S.9),

Zugang zu Kummer (S.5), Satz 90 als populärster Satz

Hilberts bedeutende zahlentheoretische Werke zum Teil später

"Erstes Lehrbuch" führt zu Aufschwung der Zahlentheorie

Zugang zu algebraischen Zahlentheorie für Jahrzehnte Anfang 20. Jahrhundert

van der Waerden neues grundlegendes Algebralehrbuch aufgrund von Noether und Artin

Artin zu hilberts 100. "Auch heute noch zieht jeder Zahlentheoretiker neben den neueren Lehrbüuchern dieses grundlegende Werk zu Rate."

Kritik

Fehler (Taussky), Verträngung Dedekind Kronecker, Kummer "mit unwesentlichen Verbesserungen"

Literatur

• David Hilbert: Die Theorie der algebraischen Zahlkörper. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 4, 1897, S. 175-546, GDZ
• Franz Lemmermeyer, Norbert Schappacher: Introduction to the English Edition of Hilbert’s Zahlbericht. 2003, Bilkent University
• Franz Lemmermeyer: 120 Jahre Hilberts Zahlbericht. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Bd. 120, 2018, S. 41-79, doi:10.1365/s13291-017-0168-3, Uni Heidelberg

Weblinks

Wikisource: Der Zahlbereicht als siebtes Kapitel des ersten Bandes der Gesammelten Abhandlungen David Hilberts – Quellen und Volltexte