Benutzer:Staledel/Morphologische Bildverarbeitung

Die morphologische Bildverarbeitung ist ein Teilgebiet der computergestützten Bildverarbeitung und kann als Technik zur Analyse von Strukturen in Bildern verstanden werden. Morphologie ist die Lehre der Gestalt oder der Form. Diese nichtlineare Bildverarbeitungsmethode ist in der Lage, die Struktur von Bildern zu analysieren und zu beeinflussen. Sie ist ein Konzept, das auf der Mengenlehre, der Topologie und der Verbandstheorie basiert. Es sind sowohl Binär- als auch Grauwertbilder zulässig, da auch Binärbilder bereits die Form und Gestalt eines Objekts wiedergeben können. Ein Ziel der morphologischen Bildverarbeitung kann einerseits ein neues Bild sein, das relevantes hervorhebt. Ein anderes Ziel kann eine Liste sein, die mit Messgrößen gefüllt wird, die aus dem Bild bestimmt wurden.

Es gilt, die morphologiche Bildverarbeitung nicht mit Morphing zu verwechseln, in der Literatur ist sie auch unter dem Begriff mathematischer Morphologie zu finden.

Binäre Morphologie

Binärbild einer Kastanie.

In der binären Morphologie wird ein Bild A als eine Teilmenge des Euklidischen Raumes $\mathbb {R} ^{d}$ oder eines diskreten Gitters $\mathbb {Z} ^{d}$ der Dimension $d$ aufgefasst. Die einzelnen Bildelemente oder Pixel können die Werte 0 oder 1 annehmen, je nach dem, ob das Pixel dem Hintergrund oder einem Objekt angehört.

Strukturelement

Ein Strukturelement $B\subset \mathbb {Z} ^{2}$ ist eine Strukturmenge der zweidimensionalen, diskreten Grundmenge. Sie besteht aus dem Ursprungspixel und weiteren beliebig angeordneten Pixeln. Der Ursprungspixel ist im Normalfall auch der Bezugspunkt, auf den sich die Filterung bezieht. Der Bezugspunkt wird durch das Zeichen $\otimes$ gekennzeichnet.

Beispiele für häufig genutzte Strukturelemente $B$ für Bilder $A$ aus $\mathbb {Z} ^{2}$:

• Vierer-Nachbarschaft: $B={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&\otimes &1\\0&1&0\end{bmatrix}}$;
• Achter-Nachbarschaft: $B={\begin{bmatrix}1&1&1\\1&\otimes &1\\1&1&1\end{bmatrix}}$;
• Eine Näherung des Kreises mit Radius 2: $B={\begin{bmatrix}0&0&1&0&0\\0&1&1&1&0\\1&1&\otimes &1&1\\0&1&1&1&0\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}$.

Die Spiegelung des Strukturelementes $B$ wird mit ${\check {B}}$ gekennzeichnet: ${\check {B}}=\{-b|b\in B\};B\subseteq \mathbb {E}$. Die Wahl des Strukturelementes hängt von der Problemstellung ab und wird deshalb im Normalfall durch vorhandenes Vorwissen erleichtert.

Morphologische Standardoperatoren

Das Binärbild der Kastanie wurde erodiert. Je nach Form und Größe des Strukturelementes und der Anzahl der Erosionen ändert sich das Erscheinungsbild unterschiedlich stark.

Die morphologischen Standardoperatoren sind eng mit der Minkowski-Summe verwandt und bilden die Grundlage der morphologischen Bildverarbeitung.

Erosion

Die Erosion des Binärbildes $A$ mit dem Strukturelement $B$ wird definiert als:

$A\ominus B=\{x\in E|B_{x}\subseteq A\}$

wobei der Vektor $x$ stets die Positon des Bezugspunkts beschreibt.

Alternativ kann die Erosion auch durch folgende, auf Minkowski zurückgehende Schreibweise definiert werden: $A\ominus B=\bigcap _{b\in B}A_{-b}$.

Eine Erosion trägt den Rand des Objekts ab

Dilatation

Das Binärbild der Kastanie wurde dilatiert. Auch hier ist das Ergebnis von der Wahl des Strukturelements und der Wiederholungszahl anhängig.

Die Dilatation eines Binärbildes $A$ mit dem gespiegelten Strukturelement $B$ wird gegeben durch:

$A\oplus B=\{x\in E|(B^{s})_{x}\cap A\neq \varnothing \}$,

wobei $B^{s}$ die Rotationssymmetrie von $B$ darstellt: $B^{s}=\{x\in E|-x\in B\}$.

Die Alternative Schreibweise ist: $A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{b}$.

Da die Dilatation kommutativ ist, gilt: $A\oplus B=B\oplus A=\bigcup _{a\in A}B_{a}$.

Eine Dilatation wirkt sich wie eine Erweiterung der Objektstrukturen aus. Dabei vergrößern sie sich und es kann eine Verschmelzung von zunächst getrennten Objekten auftreten.

Die Verwandschaft zwischen Erosion und Dilatation nennt man Dualität. Für (zentral-)symmetrische Strukturelemente gilt: $A^{c}\ominus B=(A\oplus B)^{c}$. Dabei ist $A^{c}$ das Komplement zu $A$, also $A^{c}=\{x\in \mathbb {E} |x\notin A\}$.

Am Beispiel der Kastanie erkennt man gut, dass sich sowohl die Stacheln als auch der Körper der Frucht ausgedehnt haben.

Öffnung

Binärbild einer Kastanie nach morphologischer Öffnung.

Die Öffnung von $A$ mit $B$ besteht aus zwei Schritten:

1. Erosion von $A$ mit $B$,

2. Dilatation des Ergebnisses mit $B$:

$A\circ B=(A\ominus B)\oplus B$

Geometrisch Interpretiert kann die Öffnung zum glätten äußerer Ecken, zum entfernen dünner Stege oder "Stacheln" sowie zum entfernen kleiner Außenliegender Objekte genutzt werden. So können beispielsweise die Stacheln einer Kastanie entfernt werden, die Form der Frucht bleibt jedoch weitgehend erhalten.

Schließung

Analog zur Öffnung besteht die Schließung von $A$ mit $B$ besteht ebenso aus zwei Schritten:

1. Dialtation von $A$ mit $B$,

2. Erosion des Ergebnisses mit $B$:

$A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B$

Aufgrund der Dualität kann die Schließung auch alternativ formuliert werden: $A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}$.

Geometrisch wirkt sich die Schließung durch die Glättung innerer Ecken, die Überbrückung kleiner Distanzen und besonders der namensgebenden Schließung von inneren Löchernaus.

Eigenschaften der Standardoperatoren

• Erosion ist monoton wachsend: $A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow (A_{1}\ominus B)\subseteq (A_{2}\ominus B)$
• Dilatation ist monoton wachsend: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_1 \subseteq A_2 \Rightarrow (A_1 \oplus B) \subseteq (A_2 \oplus B)}
• Dilatation ist extensiv, d.h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq A_1 \oplus B} , falls B den Ursprung enthält
• Erosion ist anti-extensiv, d.h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \ominus B \subseteq A } , falls B den Ursprung enthält
• Ist A konvex, ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \ominus B }
• Tranlationsinvarianz: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \ominus B_z = (A \ominus B)_z }

Weitere Operatoren und Anwendungsgebiete

Filterung

• Morphologische Gradienten (Kantenfilter)
• Kontrastverstärkung
• Granulometrie

Segmentierung

• Wasserscheidentransformation
• Markerkontrollierte Segmentierung

Klassifikation

• Clusteranalyse

Morphologie auf Grauwertbildern

Erosion

Die Erosion eines Grauwertbildes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} durch ein Strukturelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_B(f)} bezeichnet. Sie ist als das punktweise Minimum aller möglichen Verschiebungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} durch die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -b} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_B(f) = \bigwedge_{b \in B} f_{-b} } .

Der erodierte Wert an einem gegebenen Pixel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist der kleinste Pixelwert in dem durch das Strukturelement definierten Fenster, wenn sich sein Bezugspunkt an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} befindet. Die Erosion auf Grauwertbildern ist damit ein Minimumfilter.

Dilatation

Die Dilatation eines Grauwertbildes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} durch ein Strukturelement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_B(f)} bezeichnet. Sie ist als das punktweise Maximum aller möglichen Verschiebungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} durch die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -b} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_B(f) = \bigvee_{b \in B} f_{-b}} .

Der dilatierte Wert an einem gegebenen Pixel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} ist der größte Pixelwert in dem durch das Strukturelement definierten Fenster, wenn sich sein Bezugspunkt an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} befindet. Die Dilatation auf Grauwertbildern ist damit ein Maximumfilter.

Anwendungsgebiete

Die Anwendungsgebiete der morphologischen Bildverarbeitung sind vielseitig. Beipsiele sind die industrielle Qualitätskontrolle, die Dokumentenverarbeitung, die Bildkodierung sowie die medizinische Bildverarbeitung. Auch in den Geowissenschaften, den Materialwissenschaften und im Bereich der Sicherheitskontrolle wird die Technik angewandt.

Siehe auch

• Mathematische Morphologie

Literatur

• P. Soille, Morphologische Bildverarbeitung, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1998, DOI 10.1007/978-3-642-72190-8
• B. Jähne, Digitale Bildverarbeitung, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012, DOI 10.1007/978-3-642-04952-1 19
• J. Beyerer, F. Puente León, C. Frese, Automatische Sichtprüfung, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2012, ISBN 978-3-642-23966-3

Kategorie:Bildverarbeitung