Benutzer:Tensorproduct/Theorie der großen Abweichungen

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Moderne Theorie der großen Abweichungen von Donsker und Varadhan für Markov-Prozesse.

Theorie der großen Abweichungen

Starkes und schwaches Prinzip der großen Abweichungen

Sei $X$ ein Topologischer Raum, der Hausdorff und regulär ist mit borelscher σ-Algebra ${\mathcal {B}}$ und $\{\mu _{\varepsilon }\}$ eine Familie von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Das Prinzip der großen Abweichungen kurz "LDP (von englisch Large Deviation Principle) charakterisiert das Grenzwertverhalten von $\{\mu _{\varepsilon }\}$ für $\varepsilon \to 0$ bezüglich einer eindeutigen, unterhalbstetigen Rate-Funktion $I:X\to [0,\infty ]$. Man sagt für $\{\mu _{\varepsilon }\}$ gilt das schwache LDP falls

1) Für alle offenen $O\subset X$ gilt

$\liminf _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(O)\geq -\inf \limits _{x\in O}I(x)$.

2) Für alle kompakten $C\subset X$ gilt

$\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf \limits _{x\in C}I(x)$.

Gilt hingegen statt 2) der Punkt 2') Für alle abgeschlossenen $C\subset X$ gilt

$\limsup _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\lambda (\varepsilon )}}\log \mu _{\varepsilon }(C)\leq -\inf \limits _{x\in C}I(x)$

so spricht man vom starken LDP.

Eine Funktion $I:X\to [0,\infty ]$ heißt Rate-Funktion (auch Cramér-Funktion genannt) falls folgendes gilt:

1) $I$ ist unterhalbstetig, d. h. es gilt $K_{l}=\{x\in X:I(x)\leq l\}$ ist geschlossen für jedes $l<\infty$.

Man spricht von einer guten Rate-Funktion, falls zusätzlich gilt:

2) $K_{l}$ sind kompakt.