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Berechnung des Taupunkts von feuchter Luft

Mathematische Abkürzungen

Folgende Bezeichnungen werden verwendet:

$m_{\mathrm {W} }$	Masse des Wassers
$m_{\mathrm {D} }$	Masse des Wasserdampfes
$m_{\mathrm {L} }$	Masse der trockenen Luft
$x$	Wassergehalt
$T$	Temperatur in Kelvin
$\vartheta$	Temperatur in °C
$\vartheta _{\mathrm {\tau } }$	Taupunkttemperatur in °C
$p$	Druck der feuchten Luft
$p_{\mathrm {D} }$	Partialdruck des Dampfes
$p_{\mathrm {L} }$	Partialdruck der trockenen Luft
$p_{\mathrm {s} }$	Sättigungsdampfdruck
$\varphi$	relative Luftfeuchtigkeit
$R$	universelle Gaskonstante
$M$	molare Masse

Grundlegende Zusammenhänge

Der Wassergehalt ist das Verhältnis zwischen der im Gemisch enthaltenen Masse des Wassers m_W und der Masse der trockenen Luft m_L.

$x={\frac {m_{\mathrm {W} }}{m_{\mathrm {L} }}}\qquad \qquad (1)$

Im ungesättigten Zustand liegt das gesamte Wasser als Dampf vor. Man kann dafür schreiben:

$x={\frac {m_{\mathrm {D} }}{m_{\mathrm {L} }}}\qquad \qquad (2)$

Die Partialdrücke des Dampfes p_D und der trockenen Luft p_L beschreiben den Zustand der Gemischkomponenten. Die Summe der Partialdrücke ist der barometrische Druck der feuchten Luft.

$p=p_{\mathrm {D} }+p_{\mathrm {L} }\qquad \qquad (3)$

Der Partialdruck ist dabei der Druck, den die jeweilige Gemischkomponente annehmen würde, wenn sie das Gemischvolumen V bei der gleichen Temperatur T allein ausfüllen würde. Mit der thermischen Zustandsgleichung für ideale Gase lässt sich formulieren:

${\frac {V}{T}}={\frac {m_{\mathrm {D} }\cdot R\cdot M_{\mathrm {D} }}{p_{\mathrm {D} }}}={\frac {m_{\mathrm {L} }\cdot R\cdot M_{\mathrm {L} }}{p_{\mathrm {L} }}}\qquad \qquad (4)$

${\frac {p_{\mathrm {D} }}{p_{\mathrm {L} }}}={\frac {m_{\mathrm {D} }}{m_{\mathrm {L} }}}\cdot {\frac {M_{\mathrm {D} }}{M_{\mathrm {L} }}}=x\cdot {\frac {M_{\mathrm {D} }}{M_{\mathrm {L} }}}\qquad \qquad (5)$

Das Verhältnis der molaren Massen von Wasser und trockener Luft beträgt 0,622.

$x=0,622\cdot {\frac {p_{\mathrm {D} }}{p_{\mathrm {L} }}}\qquad \qquad (6)$

Mit Gleichung (3) lässt sich für den Partialdruck des Dampfes formulieren

$p_{\mathrm {D} }={\frac {x}{0,622+x}}\cdot p\qquad \qquad (7)$

Die relative Luftfeuchtigkeit φ ist das Verhältnis von Partialdruck des Dampfes zu dessen Sättigungsdampfdruck p_s.

$\varphi ={\frac {p_{\mathrm {D} }}{p_{\mathrm {s} }\left(\vartheta \right)}}\qquad \qquad (8)$

Aus Gleichnung (7) lässt sich ableiten

$\varphi ={\frac {x}{0,622+x}}\cdot {\frac {p}{p_{\mathrm {s} }\left(\vartheta \right)}}\qquad \qquad (9)$

Sättigungsdampfdruck

Die Abhängigkeit des Sättigungsdampfdrucks von Wasser ist aus Messungen bekannt und in Tabellenwerken dargestellt sowie in Näherungsgleichungen formuliert. Eine Möglichkeit für die Beschreibung des Sättigungsdampfdrucks ist die Magnus-Formel, welche folgende Form besitzt

$p_{\mathrm {s} }(\vartheta )=K_{\mathrm {1} }\cdot \exp \left({\frac {K_{\mathrm {2} }\cdot \vartheta }{K_{\mathrm {3} }+\vartheta }}\right)\qquad \qquad (10)$

Für den Sättigungsdampfdruck über Wasser
gelten die Parameter

$K_{\mathrm {1} }=6,11213~\mathrm {hPa} \qquad \qquad K_{\mathrm {2} }=17,5043\qquad \qquad K_{\mathrm {3} }=241,2\,^{\circ }\mathrm {C}$

im Temperaturbereich $-30~^{\circ }\mathrm {C} \leq \vartheta \leq 70~^{\circ }\mathrm {C}$
(unter 0°C für unterkühltes Wasser).

Für den Sättigungsdampfdruck über Eis
gelten die Parameter

$K_{\mathrm {1} }=6,11153~\mathrm {hPa} \qquad \qquad K_{\mathrm {2} }=22,4433\qquad \qquad K_{\mathrm {3} }=272,186\,^{\circ }\mathrm {C}$

im Temperaturbereich $-60~^{\circ }\mathrm {C} \leq \vartheta \leq 0~^{\circ }\mathrm {C}$.

Abhängigkeit der Taupunkttemperatur von Wassergehalt und barometrischem Druck

Am Taupunkt liegt der Dampf bei Sättigungsdruck vor. Gleichung (7) kann mit dem Sättigungsdruck der Taupunkttemperatur gleichgesetzt werden.

$p_{\mathrm {s} }\left(\vartheta _{\mathrm {\tau } }\right)={\frac {x}{0,622+x}}\cdot p\qquad \qquad (11)$

Je nach dem welche Formulierung für den Temperaturabhängigkeit des Sättigungsdampfdrucks angewendet wird, läßt sich eine iterative Lösung oder eine explizite Formulierung für die Taupunkttemperatur $\vartheta _{\mathrm {\tau } }$ finden. Durch Einsetzen der Magnus-Formel (10) kann Gleichung (11) nach der Taupunkttemperatur $\vartheta _{\mathrm {\tau } }$ umgestellt werden.

$\vartheta _{\rm {\tau }}\left(x,\;p\right)={\frac {K_{\mathrm {3} }\cdot \ln {\frac {x\cdot p}{(0,622+x)K_{\mathrm {1} }}}}{K_{\mathrm {2} }-\ln {\frac {x\cdot p}{(0,622+x)K_{\mathrm {1} }}}}}\qquad \qquad (12)$

Bei der Anwendung dieser Formel sind die oben aufgeführten Temperaturbereiche zu beachten.

Abhängigkeit der Taupunkttemperatur von relativer Luftfeuchtigkeit und Lufttemperatur

Taupunkt in Abhängigkeit von Temperatur und Luftfeuchtigkeit.

Am Taupunkt ist die relative Luftfeuchtigkeit gleich 1 (=100 %)

$\varphi \left(\vartheta _{\mathrm {\tau } }\right)={\frac {x}{0,622+x}}\cdot {\frac {p}{p_{\mathrm {s} }\left(\vartheta _{\mathrm {\tau } }\right)}}=1\qquad \qquad (13)$

Dividiert man Gleichung (9) durch Gleichung (13) so ergibt sich

$\varphi ={\frac {p_{\mathrm {s} }\left(\vartheta _{\mathrm {\tau } }\right)}{p_{\mathrm {s} }\left(\vartheta \right)}}\qquad \qquad (14)$

Nach Einsetzen der Magnus-Formel lässt sich der Zusammenhang umformulieren zu

$\vartheta _{\rm {\tau }}\left(\varphi ,\;\vartheta \right)=K_{\mathrm {3} }\cdot {\frac {{\frac {K_{\mathrm {2} }\cdot \vartheta }{K_{\mathrm {3} }+\vartheta }}+\ln \varphi }{{\frac {K_{\mathrm {2} }\cdot K_{\mathrm {3} }}{K_{\mathrm {3} }+\vartheta }}-\ln \varphi }}\qquad \qquad (15)$

Bei der Anwendung dieser Formel sind die oben aufgeführten Temperaturbereiche zu beachten.