Benutzer:Zivilverteidigung/Spielwiese1

Die Symmetrische Orthogonalisierung ist ein von Per-Olov Löwdin endecktes, in der Quantenchemie häufig eingesetztes Orthogonalisierungsverfahren.

In der Quantenchemie führt die approximative Lösung der molekularen Schrödingergleichung auf generalisierte Matrix-Eigenwertprobleme der Form $FC=SC\epsilon$ mit der Fock-Matrix F, der Koeffizientenmatrix C, die die LCAO-Koeffizienten der Molekülorbitale enthält und der Diagonalmatrix der Orbitalenergien $\epsilon$. Um dieses zu lösen muss die Gleichung so transformiert werden, dass die sogenannte Überlappungsmatrix S zur Einheitsmatrix E werden. Damit wäre das generalisierte Eigenwertproblem auf ein gewöhnliches Eigenwertproblem $F'C'=C'\epsilon$ reduziert. Um dies zu erreichen werden die Überlappungsmatrix S mittels einer unitären Transformation diagonalisiert, und anschließend die Diagonalelemente hoch -1/2 "genommen". Danach wird die Matrix mittels der Rücktransformation wieder "entdiagonalisiert". Mit der so erhaltenen Matrix X und dem Zusammenhang $C=XC'$ kann nun die ursprüngliche Gleichung wie folgt modifiziert werden: $FXC'=SXC'\epsilon$. Durch Multiplikation von der linken Seite mit der adjungierten Matrix $X^{\dagger }$ erhält man: $X^{\dagger }FXC'=X^{\dagger }SXC'\epsilon$. $X^{\dagger }SX$ ist aber gerade wieder die Einheitsmatrix, und wir definieren $F'=X^{\dagger }FX$. Damit erhalten wir $F'C'=C'\epsilon$