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| Dies ist ein Dump des Artikels Randen- und Radieschenprimzahlen vom 8. November 2011.
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Randen- und Radieschenprimzahlen sind Primzahlen aus dem Bereich der Unterhaltungsmathematik.[1]
Das Rätsel demonstriert, dass nicht jede Definition in der Mathematik zu interessanten mathematischen Objekten führt. Es gibt nämlich nur endlich viele Randen- und Radieschenprimzahlen. Dies ist nicht offensichtlich, sondern die eigentliche Herausforderung dieses Rätsels. Dagegen ist zum Beispiel die Definition vom Primzahlzwillingen ebenso einfach. Trotzdem sind diese noch immer ein offenes Forschungsgebiet.
Definition
Randenprimzahl
Eine im Dezimalsystem geschriebene Primzahl wird als Randenprimzahl bezeichnet, wenn jede ihrer aus zusammenhängenden Ziffern gebildete ein- oder mehrstellige Teilzahl wiederum eine Primzahl (oder 1) ist. So ist beispielsweise 173 eine Randenprimzahl, weil alle ihre Teilzahlen 1, 7, 3, 17 und 73 obige Bedingung erfüllen. Der Name kommt daher, dass auch beim Auseinanderschneiden einer Rande (Rote Beete) jede Schnittfläche so rot ist wie die ganze Rande selbst.
Radieschenprimzahl
Im Gegensatz dazu ist eine Radieschenprimzahl eine Primzahl, bei der alle Teilzahlen zusammengesetzt - also keine Primzahlen oder 1 - sind. Zum Beispiel ist 60.649 eine Radieschenprimzahl, da die Zahl selbst zwar prim ist, aber alle Teilzahlen 6, 60, 606, 6064, 64, 649, 4, 49 und 9 zusammengesetzt sind. Diese Eigenschaft erinnert an das Radieschen, bei dem nur die äußere Haut rot, die Schnittflächen dagegen weiß sind.
Fragestellung und Lösung
In der Unterhaltungsmathematik wird gefragt, welche Zahl die kleinste Radieschenprimzahl ist und welche Zahl die größte Randenprimzahl. Die kleinste Radieschenprimzahl ist 89, die größte Randenprimzahl 3137. Dies lässt sich wie folgt begründen:
Eine Radieschenprimzahl kann nur mit einer der Ziffern 4, 6, 8 oder 9 beginnen. Würde sie mit den Ziffern 1, 2, 3, 5 oder 7 beginnen, so wären diese als Teile ja Primzahlen bzw. 1 und die Zahl wäre keine Radieschenprimzahl. Aus dem gleichen Grund kann eine Radieschenprimzahl nicht auf 1, 2, 3, 5 oder 7 enden. Auch können 2, 4, 6 und 8 nicht am Ende stehen, da die Zahl dann nicht einmal eine Primzahl wäre. Damit kann eine Radieschenprimzahl nur auf 9 enden. 49 und 69 sind keine Primzahlen. 89 ist eine Primzahl und damit die kleinste Radieschenprimzahl.
In einer Randenprimzahl können nur die Ziffern 1, 2, 3, 5 oder 7 vorkommen. Die zweistelligen Randenprimzahlen sind genau die Primzahlen, die nur diese Ziffern enthalten, also 11, 13, 17, 23, 31, 37, 53, 71 und 73. Weiters muss jede Teilzahl einer Randenprimzahl ebenfalls eine Randenprimzahl sein. Das gilt auch für die beiden (n–1)-stelligen Teilzahlen einer n-stelligen Randenprimzahl. Im Umkehrschluss müssen alle Randenprimzahlen durch wiederholtes Überlagern kleinerer Randenprimzahlen konstruierbar sein. Aus 13 und 37 ergibt sich so zum Beispiel die Randenprimzahl 137. Durch schrittweises Vorgehen zeigt sich, dass 3137 die größte Randenprimzahl ist.[2]
Einzelnachweise
- ↑ Preisrätsel: Randen- und Radieschenprimzahlen von Willi Botta in . Spektrum der Wissenschaft, 24. Juni 2006
- ↑ Lösung zu Randen- und Radieschenprimzahlen in Spektrum der Wissenschaft, September 2006, Seite 104.
