Bernoullische Differentialgleichung

Die Bernoullische Differentialgleichung (nach Jakob I Bernoulli) ist eine nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y'(x)=f(x)y(x) + g(x) y^\alpha(x),\ \alpha\notin \lbrace0,1\rbrace.}

Durch die Transformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ z(x) := (y(x))^{1-\alpha}}

kann man sie auf die lineare Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z'(x)=(1-\alpha)\bigl(f(x)z(x)+g(x)\bigr)}

zurückführen.

Die Gleichung ist nicht zu verwechseln mit der Bernoulli-Gleichung der Strömungsmechanik.

Satz über die Transformation der Bernoullischen Differentialgleichung

Sei $x_{0}\in (a,b)$ und

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {falls}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {falls}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

eine Lösung der linearen Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x).}

Dann ist

$y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$

die Lösung der Bernoullischen Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y'(x)=f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}

Weiter besitzt die Bernoullische Differentialgleichung für jedes $\alpha >0$ trivialerweise $y\equiv 0$ als Lösung für $y_{0}=0$.

Beweis

Es gilt

${\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {1}{1-\alpha }}z(x)^{{\frac {1}{1-\alpha }}-1}z'(x)\\&=&{\frac {1}{1-\alpha }}z(x)^{{\frac {1}{1-\alpha }}-1}{\bigl (}(1-\alpha )f(x)z(x)+(1-\alpha )g(x){\bigr )}\\&=&f(x)z(x)^{\frac {1}{1-\alpha }}+g(x)z(x)^{\frac {\alpha }{1-\alpha }}\\&=&f(x)y(x)+g(x)y^{\alpha }(x)\ ,\end{array}}$

während der Anfangswert trivialerweise erfüllt ist.

$\Box$

Beispiel: Logistische Differentialgleichung

Die logistische Differentialgleichung

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y'(x)=ay(x)-by^{2}(x),\ y(0)=y_{0}>0,\ a,b>0}

ist eine Bernoullische Differentialgleichung mit $\alpha =2$. Löst man daher

$z'(x)=-az(x)+b\ ,\ z(0)={\frac {1}{y_{0}}},$

ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(x) = \frac{b}{a} + \left(\frac{1}{y_0} - \frac{b}{a}\right)e^{-ax}.}

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z(x) > 0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x > x^-} mit

$x^{-}:=\left\{{\begin{array}{ll}-\infty \ ,&{\textrm {falls}}\ a\geq by_{0},\\{\frac {1}{a}}\ln(1-{\frac {a}{by_{0}}})\ ,&{\textrm {falls}}\ a<by_{0},\\\end{array}}\right.$

ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y(x) := \frac{1}{z(x)} = \frac{1}{\frac{b}{a}+\left(\frac{1}{y_0}-\frac{b}{a}\right)e^{-ax}}}

die Lösung obiger Gleichung auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x^-, \infty)} .

Literatur

• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-32227-7