Betti-Zahl

Im mathematischen Teilgebiet der Topologie sind die Betti-Zahlen eine Folge nichtnegativer ganzer Zahlen, die globale Eigenschaften eines topologischen Raumes beschreiben. Von Henri Poincaré wurde gezeigt, dass sie topologische Invarianten sind. Er benannte die Zahlen nach dem Mathematiker Enrico Betti, da sie eine Verallgemeinerung der von Betti in seiner Arbeit über komplexe algebraische Flächen eingeführten Flächenzahlen sind.

Definition

Es sei $X$ ein topologischer Raum. Dann ist die $i$-te Betti-Zahl von $X$

$b_{i}(X)=\dim _{\mathbb {Q} }H_{i}(X,\mathbb {Q} )$ für $i=0,1,2,\ldots$

Dabei bezeichnet $H_{i}(X,\mathbb {Q} )$ die $i$-te singuläre Homologiegruppe mit Koeffizienten in den rationalen Zahlen.

Anschauung

Der Torus

Obwohl die Definition der Betti-Zahlen sehr abstrakt ist, steckt hinter ihr eine Anschauung. Die Betti-Zahlen geben an, wie viele k-dimensionale nicht zusammenhängende Flächen der entsprechende topologische Raum hat. Die ersten drei Betti-Zahlen besagen anschaulich also:

• $b_{0}$ ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten.
• $b_{1}$ ist die Anzahl der „zweidimensionalen Löcher“.
• $b_{2}$ ist die Anzahl der dreidimensionalen Hohlräume.

Der rechts abgebildete Torus (gemeint ist die Oberfläche) besteht aus einer Zusammenhangskomponente, hat zwei „zweidimensionale Löcher“, zum einen das in der Mitte, zum andern das im Inneren des Torus, und hat einen dreidimensionalen Hohlraum. Die Betti-Zahlen des Torus sind daher 1, 2, 1, die weiteren Betti-Zahlen sind 0.

Ist der zu betrachtende topologische Raum jedoch keine orientierbare kompakte Mannigfaltigkeit, so versagt diese Anschauung allerdings schon.

Eigenschaften

• $b_{0}(X)$ ist die Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten von $X$.
• $b_{1}(X)$ ist der Rang der abelisierten Fundamentalgruppe von $X$.
• Für eine orientierbare geschlossene Fläche vom Geschlecht $g$ ist $b_{0}=1$, $b_{1}=2g$, $b_{2}=1$.
• Allgemein gilt für jede $n$-dimensionale orientierbare geschlossene Mannigfaltigkeit die Poincaré-Dualität:
  $b_{k}=b_{n-k}.$
• Für jede $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit $X$ gilt $b_{k}=0$ für $k>n$.
• Für zwei topologische Räume $X$ und $Y$ gilt
  $b_{n}(X\times Y)=\sum _{\lambda +\mu =n}b_{\lambda }(X)b_{\mu }(Y).$
  Das ist eine direkte Folgerung aus dem Satz von Künneth.

Beispiele

• Die Betti-Zahlen der $n$-Sphäre sind
  $b_{k}(S^{n})=\delta _{k0}+\delta _{kn}={\begin{cases}2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n=k=0\\1&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ n\neq k=0\ \mathrm {oder} \ n=k\neq 0\\0&\mathrm {sonst} \end{cases}}$
• Die Betti-Zahlen der reellen projektiven Ebene sind $1,0,0,0,\ldots$, genau wie die eines einzelnen Punktes und jeder konvexen Menge im $\mathbb {R} ^{n}$. Zwei sehr verschiedene Räume können also in allen Betti-Zahlen übereinstimmen.

Verwandte Begriffe

Die Euler-Charakteristik ist die alternierende Summe der Betti-Zahlen, d. h.

${\begin{aligned}\chi (X)&=b_{0}(X)-b_{1}(X)+b_{2}(X)-\cdots \\&=\sum _{i=0,1,\dots }^{}(-1)^{i}b_{i}(X)\end{aligned}}$

Literatur

• Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0.
• M.I. Voitsekhovskii: Betti number. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online). Vorlage:EoM/id

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Betti Number. In: MathWorld (englisch).