Bezierfläche

Tensorprodukt-Bezierfläche und ihr Kontrollnetz (blau)

In der Geometrie sind Bezierflächen Flächen im $\mathbb {R} ^{3}$, die als räumliche Verallgemeinerungen von Bezierkurven definiert werden. Dabei geht man im Wesentlichen zwei Wege einer Verallgemeinerung. Dies führt auf:

• Tensorprodukt-Bezierflächen. Es werden Produkte von Bernstein-Polynomen verwendet.
• Dreiecks-Bezierflächen. Es werden Bernstein-Polynome für Baryzentrische Koordinaten eingeführt.

Bezierflächen spielen in den Bereichen Computergraphik und ComputerAidedDesign eine wesentliche Rolle beim Modellieren von Freiformflächen .

Tensorprodukt-Bezierfläche

Definition

Es sei ${\bf {b}}^{m}(u)=\sum _{i=0}^{m}{\bf {b}}_{i}B_{i}^{m}(u)$ eine Bezierkurve im $\mathbb {R} ^{3}$, deren Kontrollpunkte von einem weiteren Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} abhängen, und zwar sollen sie selbst auf Bezierkurven liegen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ {\bf b}_i(v)= \sum_{j=0}^n {\bf b}_{ij} B_j^n(v)} . Damit beschreibt

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{m,n}(u,v)= \sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n {\bf b}_{ij}B_i^m(u)B_j^n(v) ,\quad u,v \in [0,1]}

eine Fläche, die zu den Kontrollpunkten oder Kontrollnetz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}_{ij}} gehörige (m,n)-Tensorprodukt-Bezierfläche. Die Fläche enthält die Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ {\bf b}_{00},\ {\bf b}_{m0},\ {\bf b}_{0n},\ {\bf b}_{mn}\ } und die Parameter-Kurven (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} sind konstant), insbesondere die Randkurven, sind Bezierkurven.

Man beachte, dass eine $(1,1)$-Tensorprodukt-Bezierfläche zwar Geraden enthält, aber i.a. nicht eben ist. Z.B. erhält man für

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}_{00}=(0,0,0)^T,\ {\bf b}_{10}=(1,0,0)^T,\ {\bf b}_{01}=(0,1,0)^T,\ {\bf b}_{11}=(1,1,1)^T} die Fläche mit der Parameterdarstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf x}={\bf b}^{1,1}(u,v)={\bf b}_{00}(1-u)(1-v)+{\bf b}_{10}u(1-v)+{\bf b}_{01}(1-u)v+{\bf b}_{11}uv}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =\cdots=\left(u,v,uv\right)^T}

Dies ist ein Teil des hyperbolischen Paraboloids mit der Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=xy} .

Der Casteljau-Algorithmus

Die Grundidee des Casteljau-Algorithmus für Kurven ist die lineare Interpolation von Punktepaaren. überträgt man diese Idee auf Tensorprodukt-Bezierflächen, so muss man eine bilineare Interpolation für vier Punkte definieren. Sie ist, wie bei Kurven, am einfachsten Fall ablesbar: Eine (1,1)-Tensorprodukt-Bezierfläche auf den vier Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}_{00},{\bf b}_{10},{\bf b}_{01},{\bf b}_{11}} hat die folgende Darstellung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{1,1}(u,v)= (1-u)(1-v){\bf b}_{00}+u(1-v){\bf b}_{10}+(1-u)v{\bf b}_{01}+uv{\bf b}_{11} }

Oder in Matrixform:

${\bf {b}}^{1,1}(u,v)=(1-u,u)\left({\begin{array}{ll}{\bf {b}}_{00}&{\bf {b}}_{01}\\{\bf {b}}_{10}&{\bf {b}}_{11}\end{array}}\right){1-v \choose v}$

Man geht zunächst von einem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n\times n)} -Kontrollnetz aus und bestimmt (wie bei Kurven) für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=1,2,..,n} und einem Parameterpaar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (u,v)} Zwischenvektoren, die durch bilineare Interpolation entstehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{r}_{i,j}= (1-u,u) \left ( \begin{array}{ll} {\bf b}^{r-1}_{i,j} & {\bf b}^{r-1}_{i,j+1}\\ {\bf b}^{r-1}_{i+1,j} & {\bf b}^{r-1}_{i+1,j+1} \end{array} \right ) {1-v \choose v}, }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{0}_{i,j}:= {\bf b}_{i,j}} ist. Dann sei ${\bf {b}}_{0,0}^{n}$ der Punkt, der dem Parameterpaar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (u,v)} zugeordnet wird.

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m > n} ist, ist ab $r=n$ der zweite Index konstant Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j=0} und es wird nur noch linear interpoliert (wie bei Bezierkurven).

• Der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{m}_{0,0}} ist dann der Flächenpunkt.

Analog verfährt man, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m<n} ist.

Graderhöhung

Es ist oft von Vorteil, wenn für eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (m,n)} -Tensorprodukt-Bezierfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=n} ist. Falls dies nicht der Fall ist, lässt sich dies mit Hilfe geeigneter Graderhöhungen erreichen.

Die Graderhöhung von $(m,n)$ auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (m+1,n)} der Tensorprodukt-Bezierfläche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{m,n}(u,v)= \sum_{j=0}^n\left[\sum_{i=0}^m {\bf b}_{ij}B_i^m(u) \right]B_i^n(v)}

führt auf die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} Graderhöhungen für die Bezierkurven in der eckigen Klammer:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i=0}^m {\bf b}_{ij}B_i^m(u)= \sum_{i=0}^{m+1} {\bf b}^{(1,0)}_{ij}B_i^{m+1}(u),\quad j=0,...n}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{(1,0)}_{ij}:= (1-\frac{i}{m+1}){\bf b}_{i,j} + \frac{i}{m+1}{\bf b}_{i-1,j} ,\quad i=0,...,m+1.}

Ableitungen einer Bezier-Fläche

Die partielle Ableitung der Tensorprodukt-Bezierfläche

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^{m,n}(u,v)= \sum_{j=0}^n\sum_{i=0}^m {\bf b}_{ij}B_i^m(u)B_i^n(v)}

nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial u}{\bf b}^{m,n}(u,v)= \sum_{j=0}^n\left[\frac{\partial}{\partial u} \sum_{i=0}^m {\bf b}_{ij}B_i^m(u)\right]B_i^n(v).}

Mit dem Resultat für die Ableitung einer Bezierkurve ergibt sich:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial u} {\bf b}^{m,n}(u,v)= m\sum_{j=0}^n\left[ \sum_{i=0}^{m-1} \Delta^{1,0}{\bf b}_{ij}B_i^{m-1}(u)\right]B_i^n(v),}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta^{1,0}{\bf b}_{i,j}:= {\bf b}_{i+1,j}-{\bf b}_{i,j}} . Analog erhält man die partielle Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} und alle höheren Ableitungen.

Da die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta^{1,0}{\bf b}_{0,0},\Delta^{0,1}{\bf b}_{0,0}} Tangentenvektoren der im Punkt ${\bf {b}}_{0,0}$ beginnenden Randkurven sind, ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta^{1,0}{\bf b}_{0,0} \times \Delta^{0,1}{\bf b}_{0,0}}

ein Normalenvektor der Fläche in diesem Punkt, falls beide linear unabhängig sind. D.h. die Tangentialebene in den Eckpunkten einer Tensorprodukt-Bezierfläche wird i.a. jeweils von dem Eckpunkt und seinen Nachbarpunkten im Kontrollnetz aufgespannt.

Dreiecks-Bezierflächen

Motivation und Definition

Eine formale Verallgemeinerung der Bernstein-Polynome auf Funktionen mit zwei Variablen, würde von der Beziehung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1=(u+v+(1-u-v))^n=\cdots} ausgehen. Damit die auftretenden Terme alle positiv sind, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (u,v)} in dem Dreieck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,0),(1,0),(0,1)} liegen. Zwei der drei Dreiecksseiten spielen als Intervalle auf den Koordinatenachsen eine besondere Rolle. Um diese Bevorzugung zu vermeiden, führt man homogene Koordinaten $u,v,w$ mit der Bedingung $u+v+w=1,u,v,w\geq 0$ ein. $u,v,w$ nennt man Baryzentrische Koordinaten. Die verallgemeinerten Bernsteinpolynome ergeben sich aus der Entwicklung von $(u+v+w)^{n}$ zu:

• $B_{ijk}^{n}(u,v,w):={\frac {n!}{i!j!k!}}u^{i}v^{j}w^{k}$

mit $i+j+k=n,\ i,j,k\geq 0$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u+v+w=1, \ u,v,w\ge 0} .

Datei:Bezier-3ecknetz.svg

Kontrollpunkte einer Dreiecks-Bezierfläche

Mit den Abkürzungen ${\bf {I}}:=(i,j,k),\ {\bf {u}}:=(u,v,w)$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |{\bf I}|:= i+j+k, \ |{\bf u}|:= u+v+w} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_{\bf I}^n({\bf u}):= \frac{n!}{i!j!k!} u^iv^jw^k,\quad |{\bf u}|=1 \quad \text{und} \quad \sum_{|{\bf I}|=n} B_{\bf I}^n=1.}

Ist nun

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}_{00n},{\bf b}_{10,n-1},...{\bf b}_{n00},{\bf b}_{01,n-1}, {\bf b}_{11,n-2},...,{\bf b}_{n-1,10},...,{\bf b}_{0n0}}

ein dreieckiges Netz von Punkten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} , den Kontrollpunkten, so ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}^n({\bf u}):= \sum_{|{\bf I}|=n} {\bf b}_{\bf I} B_{\bf I}^n({\bf u})}

die zugehörige Dreiecks-Bezierfläche.

Die Abbildung zeigt die Anordnung der Punkte für den Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=4} .

De-Casteljau-Algorithmus

Um den Casteljau-Algorithmus für Dreiecks-Bezierflächen übersichtlich formulieren zu können, führt man noch die folgenden Abkürzungen ein:

${\bf {e}}_{1}:=(1,0,0),\;{\bf {e}}_{2}:=(0,1,0),\;{\bf {e}}_{3}:=(0,0,1)\$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \;{\bf o}:= (0,0,0)} .

Es sei nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{{\bf b}_{\bf I}||{\bf I}|=n\}} ein dreieckiges Netz von Punkten im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf u}} ein Parametervektor in baryzentrischen Koordinaten. Dann sei für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=1,...,n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf I}=n-r}

${\bf {b}}_{\bf {I}}^{r}:=u{\bf {b}}_{{\bf {I}}+{\bf {e}}_{1}}^{r-1}({\bf {u}})+v{\bf {b}}_{{\bf {I}}+{\bf {e}}_{2}}^{r-1}({\bf {u}})+w{\bf {b}}_{{\bf {I}}+{\bf {e}}_{3}}^{r-1}({\bf {u}})$

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}_{\bf I}^0({\bf u}):= {\bf b}_{\bf I}.} Dann ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bf b}_{\bf o}^n({\bf u})} ein Punkt der Dreiecks-Bezierfläche.

Der Nachweis, dass der Casteljau-Algorithmus wirklich einen Punkt der Dreiecks-Bezierfläche liefert, verwendet (analog zum Kurvenfall) die Rekursionsformeln für Bernsteinpolynome:

• $B_{\bf {I}}^{n}({\bf {u}})=uB_{{\bf {I}}-{\bf {e}}_{1}}^{n-1}({\bf {u}})+vB_{{\bf {I}}-{\bf {e}}_{2}}^{n-1}({\bf {u}})+wB_{{\bf {I}}-{\bf {e}}_{3}}^{n-1}({\bf {u}}),\quad |{\bf {I}}|=n.$

Für weitere Details sei auf die Literatur verwiesen.

Literatur

• Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
• J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung, Vieweg+Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
• David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
• Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
• Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD, Comput. Aided Geom. Des. 1, S. 1–60, 1984