Binomisches Integral

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Ein binomisches Integral ist ein Integral der Form:

, wobei rationale Zahlen sind und .

Der Satz von Tschebyschow macht nun eine Aussage, wann ein binomisches Integral elementar integrierbar ist. Elementar integrierbar bedeutet, dass das Integral mit Hilfe einer Stammfunktion bestimmt werden kann.

Satz von Tschebyschow

Aussage

Ein binomisches Integral ist elementar integrierbar genau dann, wenn mindestens eine der Zahlen bzw. ganz ist.

Ist die Funktion elementar integrierbar, so lässt sich in folgenden drei Fällen die Stammfunktion bestimmen:

  1. mit der Substitution wobei q der Hauptnenner von m und n ist
  2. mit der Substitution wobei q der Nenner von p ist
  3. mit der Substitution wobei q der Nenner von p ist.

Beispiele

1. Beispiel

Somit ist nicht elementar integrierbar.

2. Beispiel

Also ist elementar integrierbar.

Quelle

  • binomisches Integral. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.