Blockzerlegung einer (14 × 14)-Matrix mit Zeilen- und Spaltenpartitionen jeweils der Größe 2, 4 und 8
In der Mathematik bezeichnet eine Blockmatrix eine Matrix, die so interpretiert wird, als sei sie in mehrere Teile, genannt Blöcke, zerlegt worden. Eine Blockmatrix kann auf intuitive Art und Weise als die Originalmatrix mit einer bestimmten Anzahl an horizontalen und vertikalen Trennstrichen dargestellt werden. Diese Trennstriche teilen die Originalmatrix in Untermatrizen auf.
Definition
Sei 
eine Matrix der Größe 
. Die Zahl der Zeilen und der Spalten der Matrix werde nun mittels 
und 
ganzzahlig zerlegt, wobei 
und 
die Anzahl der Summanden bezeichnen. Dann lässt sich darstellen als
mit Untermatrizen 
der Größe 
. Jede 
-Matrix kann auf unterschiedliche Arten als Blockmatrix interpretiert werden, je nachdem wie die 
Zeilen und 
Spalten zerlegt werden. Auf triviale Weise kann jede Matrix auch als Blockmatrix mit nur einem Block oder als Blockmatrix mit 
Blöcken der Größe 
aufgefasst werden.
Beispiel
Die Matrix
kann in vier 
-Blöcke zerlegt werden
Die zerlegte Matrix ergibt sich dann zu
Multiplikation von Blockmatrizen
Beispiel einer Multiplikation zweier Blockmatrizen
Das Produkt von Blockmatrizen kann rein mit Operationen der Untermatrizen dargestellt werden. Sei 
eine -Matrix mit Zeilenzerlegungen und Spaltenzerlegungen
und 
eine 
-Matrix mit Zeilenzerlegungen und 
Spaltenzerlegungen
dann gilt, dass das Produkt
blockweise berechnet werden kann, wobei 
eine 
-Matrix mit Zeilenzerlegungen und Spaltenzerlegungen ist. Die Untermatrizen der Blockmatrix sind gegeben durch
Oder, mithilfe der Einsteinschen Summenkonvention, welche implizit über mehrfach vorhandene Indizes summiert, kompakter dargestellt
Blockdiagonalmatrix
Eine Blockdiagonalmatrix ist eine quadratische Blockmatrix, deren Hauptdiagonale quadratische Blockmatrizen sind und deren restliche Blöcke Nullmatrizen sind. Eine Blockdiagonalmatrix hat die Form
wobei die Untermatrizen 
quadratische Matrizen sind. Anders ausgedrückt ist die direkte Summe von 
, das heißt
oder mit dem Formalismus von Diagonalmatrizen
.
Für die Determinante und die Spur einer Blockdiagonalmatrix gilt
und
.
Die Inverse einer Blockdiagonalmatrix ist wiederum eine Blockdiagonalmatrix, zusammengesetzt aus den Inversen der einzelnen Blöcke
Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix entsprechen den (kombinierten) Eigenwerten und Eigenvektoren der Untermatrizen 
.
Beispiel
Wichtige Beispiele für Blockdiagonalmatrizen sind Matrizen in Jordanscher Normalform. Die Blöcke sind in diesem Fall sogenannte Jordanblöcke, das sind Bidiagonalmatrizen, auf deren Hauptdiagonalen der Eigenwert des Blocks steht, während alle Elemente auf der Nebendiagonalen 1 sind.
Blocktridiagonalmatrix
Eine Blocktridiagonalmatrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche genau wie die Blockdiagonalmatrix eine quadratische Matrix ist, allerdings zusätzlich mit quadratischen Blockmatrizen in den beiden ersten (oberen und unteren) Nebendiagonalen. Die restlichen Blöcke sind Nullmatrizen. Die Blocktridiagonalmatrix ist im Grunde genommen eine Tridiagonalmatrix, allerdings mit Blockmatrizen anstelle von Skalaren. Eine Blocktridiagonalmatrix hat die Form
wobei , 
und 
jeweils quadratische Blockmatrizen auf der unteren Nebendiagonale, der Hauptdiagonale und der oberen Nebendiagonale sind.
Blocktridiagonalmatrizen tauchen oft in numerischen Lösungen verschiedener Probleme auf (zum Beispiel in der numerischen Strömungsmechanik). Es existieren optimierte numerische Verfahren zur LR-Zerlegung von Blocktridiagonalmatrizen und dementsprechend effiziente Verfahren zur Lösung von Gleichungssystemen mit Triadiagonalmatrizen als Koeffizientenmatrix.
Der Thomas-Algorithmus, welcher zur effizienten Lösung von Gleichungssystemen mit Tridiagonalmatrix verwendet wird, kann auch auf Blocktridiagonalmatrizen angewendet werden.
Block-Toeplitz-Matrix
Eine Block-Toeplitz-Matrix ist eine andere spezielle Blockmatrix, welche, ähnlich wie die Toeplitz-Matrix wiederholt die gleichen Blöcke auf den Diagonalen enthält.
Eine Block-Toeplitz-Matrix hat die Form
Siehe auch
Literatur
- Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43949-8.
Weblinks
